Производная и ее применение в физике: скорость и ускорение

Задание 1

Дано:
Закон движения тела: \(S(t) = \frac{1}{4}t^3 - e^t\), где \(e \approx 2.7\).
Найти скорость и ускорение тела через одну секунду после начала движения, то есть при \(t=1\) с.

Решение:

1. Скорость: Скорость \(v(t)\) является первой производной от закона движения \(S(t)\) по времени \(t\):
   \(v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{4}t^3 - e^t\right)\)

   Применяем правила дифференцирования:
   * Производная от \(\frac{1}{4}t^3\) равна \(\frac{1}{4} \cdot 3t^{3-1} = \frac{3}{4}t^2\).
   * Производная от \(e^t\) равна \(e^t\).

   Таким образом, скорость:
   \(v(t) = \frac{3}{4}t^2 - e^t\)

   Теперь найдем скорость при \(t=1\) с:
   \(v(1) = \frac{3}{4}(1)^2 - e^1 = \frac{3}{4} - e\)

2. Ускорение: Ускорение \(a(t)\) является первой производной от скорости \(v(t)\) по времени \(t\) (или второй производной от \(S(t)\)):
   \(a(t) = v'(t) = S''(t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{3}{4}t^2 - e^t\right)\)

   Применяем правила дифференцирования:
   * Производная от \(\frac{3}{4}t^2\) равна \(\frac{3}{4} \cdot 2t^{2-1} = \frac{3}{2}t\).
   * Производная от \(e^t\) равна \(e^t\).

   Таким образом, ускорение:
   \(a(t) = \frac{3}{2}t - e^t\)

   Теперь найдем ускорение при \(t=1\) с:
   \(a(1) = \frac{3}{2}(1) - e^1 = \frac{3}{2} - e\)

Ответ:
Скорость тела при \(t=1\) с равна \(v(1) = \frac{3}{4} - e\).
Ускорение тела при \(t=1\) с равно \(a(1) = \frac{3}{2} - e\).

Задание 2

Дано:
Закон движения тела: \(S(t) = t^4 - 6t^2 + 5\).
Найти момент времени, когда тело остановится.

Решение:

Тело остановится, когда его скорость будет равна нулю. Скорость \(v(t)\) является первой производной от закона движения \(S(t)\) по времени \(t\).

1. Найдем скорость \(v(t)\):
   \(v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} (t^4 - 6t^2 + 5)\)

   Применяем правила дифференцирования:
   * Производная от \(t^4\) равна \(4t^{4-1} = 4t^3\).
   * Производная от \(-6t^2\) равна \(-6 \cdot 2t^{2-1} = -12t\).
   * Производная от константы \(5\) равна \(0\).

   Таким образом, скорость:
   \(v(t) = 4t^3 - 12t\)

2. Найдем момент времени, когда тело остановится:
   Приравниваем скорость к нулю и решаем уравнение относительно \(t\):
   \(v(t) = 0\)
   \(4t^3 - 12t = 0\)

   Выносим общий множитель \(4t\):
   \(4t(t^2 - 3) = 0\)

   Это уравнение имеет два решения:
   * \(4t = 0 \implies t = 0\) с. (Это момент начала движения, когда тело также может быть неподвижно).
   * \(t^2 - 3 = 0 \implies t^2 = 3 \implies t = \pm\sqrt{3}\) с.

   Поскольку время не может быть отрицательным, мы рассматриваем только положительный корень.

Ответ:
Тело остановится в момент времени \(t = \sqrt{3}\) с.

Задание 3

Дано:
Закон движения тела: \(S(t) = 4t^3 + 20\cos(t)\).
Найти скорость и ускорение тела в момент времени \(t = \frac{\pi}{2}\) с.

Решение:

1. Скорость \(v(t)\): Скорость — это первая производная от закона движения \(S(t)\) по времени \(t\).
   \(v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} (4t^3 + 20\cos(t))\)

   Дифференцируем по частям:
   * Производная от \(4t^3\) равна \(4 \cdot 3t^{3-1} = 12t^2\).
   * Производная от \(20\cos(t)\) равна \(20 \cdot (-\sin(t)) = -20\sin(t)\).

   Таким образом, скорость:
   \(v(t) = 12t^2 - 20\sin(t)\)

   Теперь найдем скорость при \(t = \frac{\pi}{2}\):
   \(v\left(\frac{\pi}{2}\right) = 12\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 - 20\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
   \(v\left(\frac{\pi}{2}\right) = 12\left(\frac{\pi^2}{4}\right) - 20(1)\)
   \(v\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3\pi^2 - 20\)

2. Ускорение \(a(t)\): Ускорение — это первая производная от скорости \(v(t)\) по времени \(t\).
   \(a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt} (12t^2 - 20\sin(t))\)

   Дифференцируем по частям:
   * Производная от \(12t^2\) равна \(12 \cdot 2t^{2-1} = 24t\).
   * Производная от \(-20\sin(t)\) равна \(-20 \cdot (\cos(t)) = -20\cos(t)\).

   Таким образом, ускорение:
   \(a(t) = 24t - 20\cos(t)\)

   Теперь найдем ускорение при \(t = \frac{\pi}{2}\):
   \(a\left(\frac{\pi}{2}\right) = 24\left(\frac{\pi}{2}\right) - 20\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
   \(a\left(\frac{\pi}{2}\right) = 12\pi - 20(0)\)
   \(a\left(\frac{\pi}{2}\right) = 12\pi\)

Ответ:
Скорость тела в момент времени \(t = \frac{\pi}{2}\) с равна \(v\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3\pi^2 - 20\).
Ускорение тела в момент времени \(t = \frac{\pi}{2}\) с равно \(a\left(\frac{\pi}{2}\right) = 12\pi\).

Задание 4

Дано:
Закон движения тела: \(S(t) = t^2 - \ln(t)\).
Найти скорость и ускорение тела при \(t = 1\) с.

Решение:

1. Скорость \(v(t)\): Скорость — это первая производная от закона движения \(S(t)\) по времени \(t\).
   \(v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} (t^2 - \ln(t))\)

   Дифференцируем по частям:
   * Производная от \(t^2\) равна \(2t^{2-1} = 2t\).
   * Производная от \(\ln(t)\) равна \(\frac{1}{t}\).

   Таким образом, скорость:
   \(v(t) = 2t - \frac{1}{t}\)

   Теперь найдем скорость при \(t = 1\) с:
   \(v(1) = 2(1) - \frac{1}{1} = 2 - 1 = 1\)

2. Ускорение \(a(t)\): Ускорение — это первая производная от скорости \(v(t)\) по времени \(t\).
   \(a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt} \left(2t - \frac{1}{t}\right)\)

   Дифференцируем по частям:
   * Производная от \(2t\) равна \(2\).
   * Производная от \(-\frac{1}{t}\) (или \(-t^{-1}\)) равна \(-(-1)t^{-1-1} = t^{-2} = \frac{1}{t^2}\).

   Таким образом, ускорение:
   \(a(t) = 2 + \frac{1}{t^2}\)

   Теперь найдем ускорение при \(t = 1\) с:
   \(a(1) = 2 + \frac{1}{(1)^2} = 2 + 1 = 3\)

Ответ:
Скорость тела при \(t = 1\) с равна \(v(1) = 1\).
Ускорение тела при \(t = 1\) с равно \(a(1) = 3\).

Задание 5

Дано:
Закон движения тела: \(S(t) = 18t - 4t^3 + 8\).
Найти момент времени, когда тело остановится.

Решение:

Тело остановится, когда его скорость будет равна нулю. Скорость \(v(t)\) является первой производной от закона движения \(S(t)\) по времени \(t\).

1. Найдем скорость \(v(t)\):
   \(v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} (18t - 4t^3 + 8)\)

   Применяем правила дифференцирования:
   * Производная от \(18t\) равна \(18\).
   * Производная от \(-4t^3\) равна \(-4 \cdot 3t^{3-1} = -12t^2\).
   * Производная от константы \(8\) равна \(0\).

   Таким образом, скорость:
   \(v(t) = 18 - 12t^2\)

2. Найдем момент времени, когда тело остановится:
   Приравниваем скорость к нулю и решаем уравнение относительно \(t\):
   \(v(t) = 0\)
   \(18 - 12t^2 = 0\)

   Решаем уравнение:
   \(12t^2 = 18\)
   \(t^2 = \frac{18}{12}\)
   \(t^2 = \frac{3}{2}\)
   \(t = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}\)

   Поскольку время не может быть отрицательным, мы рассматриваем только положительный корень.

Ответ:
Тело остановится в момент времени \(t = \sqrt{\frac{3}{2}}\) с.

Задание 6

Дано:
Закон движения тела: \(S(t) = \frac{5}{3}t^3 - 2t + 4\).
Найти ускорение тела в момент времени \(t=2\) с.

Решение:

1. Найдем скорость \(v(t)\): Скорость — это первая производная от закона движения \(S(t)\) по времени \(t\).
   \(v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{5}{3}t^3 - 2t + 4\right)\)

   Дифференцируем по частям:
   * Производная от \(\frac{5}{3}t^3\) равна \(\frac{5}{3} \cdot 3t^{3-1} = 5t^2\).
   * Производная от \(-2t\) равна \(-2\).
   * Производная от константы \(4\) равна \(0\).

   Таким образом, скорость:
   \(v(t) = 5t^2 - 2\)

2. Найдем ускорение \(a(t)\): Ускорение — это первая производная от скорости \(v(t)\) по времени \(t\).
   \(a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt} (5t^2 - 2)\)

   Дифференцируем по частям:
   * Производная от \(5t^2\) равна \(5 \cdot 2t^{2-1} = 10t\).
   * Производная от константы \(-2\) равна \(0\).

   Таким образом, ускорение:
   \(a(t) = 10t\)

3. Найдем ускорение в момент времени \(t=2\) с:
   Подставляем \(t=2\) в выражение для ускорения:
   \(a(2) = 10 \cdot 2 = 20\)

Ответ:
Ускорение тела в момент времени \(t=2\) с равно \(a(2) = 20\).