Решение задач по линейной алгебре: матрицы, определители, метод Крамера

Здравствуйте! Отлично, давайте решим эти задания по порядку.

Задание 1. Выполнение действий с матрицами

Дано:
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}\)
Нужно найти: \(C = A \cdot B^T - 3B\)

1. Находим транспонированную матрицу \(B^T\):
   \(B^T = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\)

2. Вычисляем произведение \(A \cdot B^T\):
   \(A \cdot B^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \cdot -1 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 5 + 2 \cdot -2) \\ (3 \cdot -1 + 4 \cdot 1) & (3 \cdot 5 + 4 \cdot -2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}\)

3. Вычисляем \(3B\):
   \(3B = 3 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 15 & -6 \end{pmatrix}\)

4. Вычисляем \(C = A \cdot B^T - 3B\):
   \(C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 15 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-3) & 1 - 3 \\ 1 - 15 & 7 - (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -14 & 13 \end{pmatrix}\)

Ответ: \(C = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -14 & 13 \end{pmatrix}\)

Задание 2. Вычисление определителей

а) \(\begin{vmatrix} 12 & -9 \\ 0 & -5 \end{vmatrix}\)

Определитель матрицы 2x2 вычисляется как: \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\)

В данном случае:
\(\begin{vmatrix} 12 & -9 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} = (12 \cdot -5) - (-9 \cdot 0) = -60 - 0 = -60\)

Ответ: -60

б) \(\begin{vmatrix} 1 & -8 & 4 \\ 0 & 5 & 3 \\ 1 & 1 & 7 \end{vmatrix}\)

Определитель матрицы 3x3 можно вычислить разложением по первой строке:
\(\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a \cdot \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \cdot \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \cdot \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}\)

В данном случае:
\(\begin{vmatrix} 1 & -8 & 4 \\ 0 & 5 & 3 \\ 1 & 1 & 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} - (-8) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot 7 - 3 \cdot 1) + 8 \cdot (0 \cdot 7 - 3 \cdot 1) + 4 \cdot (0 \cdot 1 - 5 \cdot 1) = 1 \cdot (35 - 3) + 8 \cdot (0 - 3) + 4 \cdot (0 - 5) = 32 - 24 - 20 = -12\)

Ответ: -12

Задание 3. Решение систем методом Крамера

а) \(\begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ x - 6y = -2 \end{cases}\)

1. Вычисляем главный определитель системы:
   \(\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -6 \end{vmatrix} = (2 \cdot -6) - (-3 \cdot 1) = -12 + 3 = -9\)

2. Вычисляем определитель для \(x\):
   \(\Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & -3 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} = (5 \cdot -6) - (-3 \cdot -2) = -30 - 6 = -36\)

3. Вычисляем определитель для \(y\):
   \(\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (2 \cdot -2) - (5 \cdot 1) = -4 - 5 = -9\)

4. Находим \(x\) и \(y\):
   \(x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-36}{-9} = 4\)
   \(y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-9}{-9} = 1\)

Ответ: \(x = 4, y = 1\)

Отлично, продолжим решать оставшиеся задания!

Задание 3. Решение систем методом Крамера (продолжение)

б) \(\begin{cases} x + y + 4z = 1 \\ -3x - y + 2z = 27 \\ x + 5y - z = -5 \end{cases}\)

1. Вычисляем главный определитель системы:
   \(\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ 1 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 - 10) - 1 \cdot (3 - 2) + 4 \cdot (-15 + 1) = -9 - 1 - 56 = -66\)

2. Вычисляем определитель для \(x\):
   \(\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 27 & -1 & 2 \\ -5 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 27 & 2 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 27 & -1 \\ -5 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 - 10) - 1 \cdot (-27 + 10) + 4 \cdot (135 - 5) = -9 + 17 + 520 = 528\)

3. Вычисляем определитель для \(y\):
   \(\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ -3 & 27 & 2 \\ 1 & -5 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 27 & 2 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 27 \\ 1 & -5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-27 + 10) - 1 \cdot (3 - 2) + 4 \cdot (15 - 27) = -17 - 1 - 48 = -66\)

4. Вычисляем определитель для \(z\):
   \(\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -3 & -1 & 27 \\ 1 & 5 & -5 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 27 \\ 5 & -5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 27 \\ 1 & -5 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 - 135) - 1 \cdot (15 - 27) + 1 \cdot (-15 + 1) = -130 + 12 - 14 = -132\)

5. Находим \(x\), \(y\) и \(z\):
   \(x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{528}{-66} = -8\)
   \(y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-66}{-66} = 1\)
   \(z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-132}{-66} = 2\)

Ответ: \(x = -8, y = 1, z = 2\)