Язык задания: Russian.

Задание 1

Дано:

• $AB = AC$
• $BD = CD$

Доказать:

$\triangle ABD = \triangle ACD$

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.
2. $AB = AC$ (по условию).
3. $BD = CD$ (по условию).
4. $AD$ - общая сторона.
5. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle ACD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: $\triangle ABD = \triangle ACD$

Задание 2

Дано:

• Равнобедренный треугольник
• Периметр $P = 40$ см
• Боковая сторона на 2 см больше основания

Найти:

Стороны треугольника

Решение:

1. Пусть основание треугольника равно $x$ см.
2. Тогда боковая сторона равна $(x + 2)$ см.
3. Так как треугольник равнобедренный, то две боковые стороны равны.
4. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: $P = x + (x + 2) + (x + 2)$.
5. Подставляем известное значение периметра: $40 = x + (x + 2) + (x + 2)$.
6. Упрощаем уравнение: $40 = 3x + 4$.
7. Решаем уравнение относительно $x$: $3x = 40 - 4$, $3x = 36$, $x = 12$.
8. Итак, основание треугольника равно 12 см.
9. Боковая сторона равна $x + 2 = 12 + 2 = 14$ см.

Ответ: Основание - 12 см, боковые стороны - 14 см.

Задание 2

Дано:

• Равнобедренный треугольник
• Периметр $P = 40$ см
• Боковая сторона на 2 см больше основания

Найти:

Стороны треугольника

Решение:

1. Пусть основание треугольника равно $x$ см.
2. Тогда боковая сторона равна $(x + 2)$ см.
3. Так как треугольник равнобедренный, то две боковые стороны равны.
4. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: $P = x + (x + 2) + (x + 2)$.
5. Подставляем известное значение периметра: $40 = x + (x + 2) + (x + 2)$.
6. Упрощаем уравнение: $40 = 3x + 4$.
7. Решаем уравнение относительно $x$: $3x = 40 - 4$, $3x = 36$, $x = 12$.
8. Итак, основание треугольника равно 12 см.
9. Боковая сторона равна $x + 2 = 12 + 2 = 14$ см.

Ответ: Основание - 12 см, боковые стороны - 14 см.

Задание 3

Дано:

• $\triangle ABC$ - равнобедренный, $AB = BC$
• $AD = CE$
• Точка $D$ лежит между $A$ и $E$

Доказать:

$\angle ABD = \angle CBE$

Доказательство:

1. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, то $\angle BAC = \angle BCA$.
2. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$:
   • $AB = BC$ (как боковые стороны равнобедренного треугольника)
   • $AD = CE$ (по условию)
   • $\angle BAC = \angle BCA$ (углы при основании равнобедренного треугольника)
3. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
4. Из равенства треугольников следует, что $\angle ABD = \angle CBE$.

Ответ: $\angle ABD = \angle CBE$