Распределение денежных средств методом парных сравнений

Я понял, вам нужно распределить денежные средства между факторами эффективности (F1, F2, F3, F4) на основе метода парных сравнений, используя данные, полученные от шести специалистов.

Задание 3

Шаг 1: Создание сводных матриц парных сравнений

Сначала необходимо создать отдельные матрицы парных сравнений для каждого из шести экспертов (Э1, Э2, Э3, Э4, Э5, Э6). Затем, на основе этих матриц, нужно построить сводную матрицу, усредняя значения по каждому фактору.

Матрица парных сравнений показывает, насколько один фактор важнее другого по мнению эксперта. Значения в матрице находятся в диапазоне от 0 до 1, где значение больше 0.5 указывает на то, что первый фактор важнее второго, а значение меньше 0.5 - наоборот. Значение 0.5 означает, что факторы равнозначны.

Шаг 2: Заполнение сводной матрицы

Заполним сводную матрицу, усредняя значения из матриц каждого эксперта. Например, для элемента (F1, F2) суммируем значения из всех шести матриц и делим на 6.

Заполним верхнюю часть матрицы, используя данные из изображений:

• F1 vs F2: (0.6 + 0.5 + 0.3 + 0.4 + 0.4 + 0.3) / 6 = 2.5 / 6 = 0.417
• F1 vs F3: (0.7 + 0.6 + 0.6 + 0.7 + 0.8 + 0.5) / 6 = 3.9 / 6 = 0.65
• F1 vs F4: (0.8 + 0.9 + 0.5 + 0.5 + 0.6 + 0.7) / 6 = 4.0 / 6 = 0.667
• F2 vs F3: (0.5 + 0.6 + 0.7 + 0.8 + 0.9 + 0.6) / 6 = 4.1 / 6 = 0.683
• F2 vs F4: (0.6 + 0.9 + 0.7 + 0.9 + 1 + 0.8) / 6 = 4.9 / 6 = 0.817
• F3 vs F4: (0.5 + 1 + 0.5 + 0.6 + 1 + 0.4) / 6 = 4.0 / 6 = 0.667

Заполним нижнюю часть матрицы, используя обратные значения (1 - x):

• F2 vs F1: 1 - 0.417 = 0.583
• F3 vs F1: 1 - 0.65 = 0.35
• F4 vs F1: 1 - 0.667 = 0.333
• F3 vs F2: 1 - 0.683 = 0.317
• F4 vs F2: 1 - 0.817 = 0.183
• F4 vs F3: 1 - 0.667 = 0.333

Итоговая сводная матрица:

Шаг 3: Расчет весов факторов

Для расчета весов факторов, необходимо вычислить сумму значений в каждой строке матрицы, а затем разделить каждую сумму на общую сумму всех значений в матрице.

1. Сумма по строкам:
   • F1: 1 + 0.417 + 0.65 + 0.667 = 2.734
   • F2: 0.583 + 1 + 0.683 + 0.817 = 3.083
   • F3: 0.35 + 0.317 + 1 + 0.667 = 2.334
   • F4: 0.333 + 0.183 + 0.333 + 1 = 1.849
2. Общая сумма: 2.734 + 3.083 + 2.334 + 1.849 = 10
3. Веса факторов:
   • W1 = 2.734 / 10 = 0.2734
   • W2 = 3.083 / 10 = 0.3083
   • W3 = 2.334 / 10 = 0.2334
   • W4 = 1.849 / 10 = 0.1849

Шаг 4: Распределение денежных средств

Общая сумма денежных средств составляет 200 тыс. д.е. Распределим эту сумму пропорционально весам факторов:

• F1: 200,000 * 0.2734 = 54,680 д.е.
• F2: 200,000 * 0.3083 = 61,660 д.е.
• F3: 200,000 * 0.2334 = 46,680 д.е.
• F4: 200,000 * 0.1849 = 36,980 д.е.

Ответ:

• F1 (конкурентоспособность): 54,680 д.е.
• F2 (ресурсосбережение): 61,660 д.е.
• F3 (экологическая безопасность): 46,680 д.е.
• F4 (социальная значимость): 36,980 д.е.

Задание 3: Альтернативный метод решения (Геометрическое среднее)

Вместо усреднения арифметического, можно использовать геометрическое среднее для агрегации оценок экспертов. Этот метод менее чувствителен к выбросам и может дать более сбалансированные результаты.

Шаг 1: Создание матриц парных сравнений (как и в предыдущем методе)

Этот шаг идентичен предыдущему решению. У нас есть матрицы парных сравнений для каждого из шести экспертов.

Шаг 2: Заполнение сводной матрицы (Геометрическое среднее)

Вместо арифметического среднего, вычисляем геометрическое среднее для каждого элемента матрицы. Геометрическое среднее n чисел вычисляется как корень n-й степени из произведения этих чисел.

Для элемента (F1, F2):

\(\sqrt[6]{0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.3 \cdot 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.3} = \sqrt[6]{0.00432} \approx 0.398\)

Аналогично вычисляем для остальных элементов верхней части матрицы:

• F1 vs F3: \(\sqrt[6]{0.7 \cdot 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.7 \cdot 0.8 \cdot 0.5} = \sqrt[6]{0.112896} \approx 0.615\)
• F1 vs F4: \(\sqrt[6]{0.8 \cdot 0.9 \cdot 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.6 \cdot 0.7} = \sqrt[6]{0.108864} \approx 0.606\)
• F2 vs F3: \(\sqrt[6]{0.5 \cdot 0.6 \cdot 0.7 \cdot 0.8 \cdot 0.9 \cdot 0.6} = \sqrt[6]{0.108864} \approx 0.606\)
• F2 vs F4: \(\sqrt[6]{0.6 \cdot 0.9 \cdot 0.7 \cdot 0.9 \cdot 1 \cdot 0.8} = \sqrt[6]{0.27216} \approx 0.752\)
• F3 vs F4: \(\sqrt[6]{0.5 \cdot 1 \cdot 0.5 \cdot 0.6 \cdot 1 \cdot 0.4} = \sqrt[6]{0.06} \approx 0.550\)

Заполняем нижнюю часть матрицы, используя обратные значения (1 - x) или, точнее, обратные значения, соответствующие геометрическому среднему: если \(a_{ij}\) - элемент матрицы, то \(a_{ji} = \frac{1}{a_{ij}}\) (в данном случае мы будем использовать \(1-a_{ij}\) для сохранения логики сравнения).

• F2 vs F1: 1 - 0.398 = 0.602
• F3 vs F1: 1 - 0.615 = 0.385
• F4 vs F1: 1 - 0.606 = 0.394
• F3 vs F2: 1 - 0.606 = 0.394
• F4 vs F2: 1 - 0.752 = 0.248
• F4 vs F3: 1 - 0.550 = 0.450

Итоговая сводная матрица (с использованием геометрического среднего):

Шаг 3: Расчет весов факторов

1. Сумма по строкам:
   • F1: 1 + 0.398 + 0.615 + 0.606 = 2.619
   • F2: 0.602 + 1 + 0.606 + 0.752 = 2.960
   • F3: 0.385 + 0.394 + 1 + 0.550 = 2.329
   • F4: 0.394 + 0.248 + 0.450 + 1 = 2.092
2. Общая сумма: 2.619 + 2.960 + 2.329 + 2.092 = 10
3. Веса факторов:
   • W1 = 2.619 / 10 = 0.2619
   • W2 = 2.960 / 10 = 0.2960
   • W3 = 2.329 / 10 = 0.2329
   • W4 = 2.092 / 10 = 0.2092

Шаг 4: Распределение денежных средств

Общая сумма денежных средств составляет 200 тыс. д.е. Распределим эту сумму пропорционально весам факторов:

• F1: 200,000 * 0.2619 = 52,380 д.е.
• F2: 200,000 * 0.2960 = 59,200 д.е.
• F3: 200,000 * 0.2329 = 46,580 д.е.
• F4: 200,000 * 0.2092 = 41,840 д.е.

Ответ (Геометрическое среднее):

• F1 (конкурентоспособность): 52,380 д.е.
• F2 (ресурсосбережение): 59,200 д.е.
• F3 (экологическая безопасность): 46,580 д.е.
• F4 (социальная значимость): 41,840 д.е.

Сравнение результатов

Преимущества и недостатки методов

• Арифметическое среднее:
  • Преимущества: Простота вычисления и интерпретации.
  • Недостатки: Чувствительно к выбросам, может искажать результаты, если есть сильно отличающиеся оценки экспертов.
• Геометрическое среднее:
  • Преимущества: Менее чувствительно к выбросам, дает более сбалансированные результаты, особенно когда данные имеют мультипликативную природу.
  • Недостатки: Может быть сложнее в вычислении и интерпретации для тех, кто не знаком с этим методом.

В данном случае, геометрическое среднее может быть предпочтительнее, так как оно снижает влияние экстремальных оценок и дает более равномерное распределение средств между факторами. Различия в результатах показывают, что выбор метода усреднения может влиять на итоговое распределение ресурсов.