Решение тригонометрического уравнения 5sin^2(x) + 6sin(x) = 8

Задание 1

Решим уравнение \(5\sin^2x + 6\sin x = 8\).

1. Преобразуем уравнение:
   Перенесем все члены в одну сторону:
   \(5\sin^2x + 6\sin x - 8 = 0\)

2. Введем замену:
   Пусть \(t = \sin x\). Тогда уравнение примет вид:
   \(5t^2 + 6t - 8 = 0\)

3. Решим квадратное уравнение:
   Найдем дискриминант:
   \(D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196\)
   Найдем корни:
   \(t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 + 14}{10} = \frac{8}{10} = 0.8\)
   \(t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 - 14}{10} = \frac{-20}{10} = -2\)

4. Вернемся к исходной переменной:

   • \(\sin x = 0.8\)
     \(x = \arcsin(0.8) + 2\pi n\) или \(x = \pi - \arcsin(0.8) + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\)
   • \(\sin x = -2\)
     Так как \(-1 \le \sin x \le 1\), то уравнение \(\sin x = -2\) не имеет решений.

5. Вывод:
   Корнями уравнения являются:
   \(x = \arcsin(0.8) + 2\pi n\) и \(x = \pi - \arcsin(0.8) + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(x = \arcsin(0.8) + 2\pi n\) и \(x = \pi - \arcsin(0.8) + 2\pi n\)