Вычисление матричного выражения (A^2 - B^2)(A + B)

Задание 3

Необходимо вычислить выражение \((A^2 - B^2)(A + B)\), где матрицы \(A\) и \(B\) заданы.

1. Вычисление \(A^2\):
   \(A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 7 & 2 & 0 \\ -7 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 2 & 0 \\ -7 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)

   \(A^2 = \begin{pmatrix} 7\cdot7 + 2\cdot(-7) + 0\cdot1 & 7\cdot2 + 2\cdot(-2) + 0\cdot1 & 7\cdot0 + 2\cdot1 + 0\cdot1 \\ -7\cdot7 + (-2)\cdot(-7) + 1\cdot1 & -7\cdot2 + (-2)\cdot(-2) + 1\cdot1 & -7\cdot0 + (-2)\cdot1 + 1\cdot1 \\ 1\cdot7 + 1\cdot(-7) + 1\cdot1 & 1\cdot2 + 1\cdot(-2) + 1\cdot1 & 1\cdot0 + 1\cdot1 + 1\cdot1 \end{pmatrix}\)

   \(A^2 = \begin{pmatrix} 49 - 14 + 0 & 14 - 4 + 0 & 0 + 2 + 0 \\ -49 + 14 + 1 & -14 + 4 + 1 & 0 - 2 + 1 \\ 7 - 7 + 1 & 2 - 2 + 1 & 0 + 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35 & 10 & 2 \\ -34 & -9 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)

2. Вычисление \(B^2\):
   \(B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 0.2 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.2 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)

   \(B^2 = \begin{pmatrix} 0.2\cdot0.2 + 3\cdot1 + 3\cdot3 & 0.2\cdot3 + 3\cdot0 + 3\cdot1 & 0.2\cdot3 + 3\cdot(-2) + 3\cdot1 \\ 1\cdot0.2 + 0\cdot1 + (-2)\cdot3 & 1\cdot3 + 0\cdot0 + (-2)\cdot1 & 1\cdot3 + 0\cdot(-2) + (-2)\cdot1 \\ 3\cdot0.2 + 1\cdot1 + 1\cdot3 & 3\cdot3 + 1\cdot0 + 1\cdot1 & 3\cdot3 + 1\cdot(-2) + 1\cdot1 \end{pmatrix}\)

   \(B^2 = \begin{pmatrix} 0.04 + 3 + 9 & 0.6 + 0 + 3 & 0.6 - 6 + 3 \\ 0.2 + 0 - 6 & 3 + 0 - 2 & 3 + 0 - 2 \\ 0.6 + 1 + 3 & 9 + 0 + 1 & 9 - 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12.04 & 3.6 & -2.4 \\ -5.8 & 1 & 1 \\ 4.6 & 10 & 8 \end{pmatrix}\)

3. Вычисление \(A^2 - B^2\):
   \(A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 35 & 10 & 2 \\ -34 & -9 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12.04 & 3.6 & -2.4 \\ -5.8 & 1 & 1 \\ 4.6 & 10 & 8 \end{pmatrix}\)

   \(A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 35 - 12.04 & 10 - 3.6 & 2 - (-2.4) \\ -34 - (-5.8) & -9 - 1 & -1 - 1 \\ 1 - 4.6 & 1 - 10 & 2 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22.96 & 6.4 & 4.4 \\ -28.2 & -10 & -2 \\ -3.6 & -9 & -6 \end{pmatrix}\)

4. Вычисление \(A + B\):
   \(A + B = \begin{pmatrix} 7 & 2 & 0 \\ -7 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0.2 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)

   \(A + B = \begin{pmatrix} 7 + 0.2 & 2 + 3 & 0 + 3 \\ -7 + 1 & -2 + 0 & 1 + (-2) \\ 1 + 3 & 1 + 1 & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7.2 & 5 & 3 \\ -6 & -2 & -1 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix}\)

5. Вычисление \((A^2 - B^2)(A + B)\):
   \((A^2 - B^2)(A + B) = \begin{pmatrix} 22.96 & 6.4 & 4.4 \\ -28.2 & -10 & -2 \\ -3.6 & -9 & -6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7.2 & 5 & 3 \\ -6 & -2 & -1 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix}\)

   \((A^2 - B^2)(A + B) = \begin{pmatrix} 22.96\cdot7.2 + 6.4\cdot(-6) + 4.4\cdot4 & 22.96\cdot5 + 6.4\cdot(-2) + 4.4\cdot2 & 22.96\cdot3 + 6.4\cdot(-1) + 4.4\cdot2 \\ -28.2\cdot7.2 + (-10)\cdot(-6) + (-2)\cdot4 & -28.2\cdot5 + (-10)\cdot(-2) + (-2)\cdot2 & -28.2\cdot3 + (-10)\cdot(-1) + (-2)\cdot2 \\ -3.6\cdot7.2 + (-9)\cdot(-6) + (-6)\cdot4 & -3.6\cdot5 + (-9)\cdot(-2) + (-6)\cdot2 & -3.6\cdot3 + (-9)\cdot(-1) + (-6)\cdot2 \end{pmatrix}\)

   \((A^2 - B^2)(A + B) = \begin{pmatrix} 165.312 - 38.4 + 17.6 & 114.8 - 12.8 + 8.8 & 68.88 - 6.4 + 8.8 \\ -203.04 + 60 - 8 & -141 + 20 - 4 & -84.6 + 10 - 4 \\ -25.92 + 54 - 24 & -18 + 18 - 12 & -10.8 + 9 - 12 \end{pmatrix}\)

   \((A^2 - B^2)(A + B) = \begin{pmatrix} 144.512 & 110.8 & 71.28 \\ -151.04 & -125 & -78.6 \\ 4.08 & -12 & -13.8 \end{pmatrix}\)

Ответ:

\((A^2 - B^2)(A + B) = \begin{pmatrix} 144.512 & 110.8 & 71.28 \\ -151.04 & -125 & -78.6 \\ 4.08 & -12 & -13.8 \end{pmatrix}\)