Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу тебе решить задания C-22.

Задание 1

Упростите выражение:

1) a) $x^3 \cdot (-x^4)$
* При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
* $x^3 \cdot (-x^4) = -x^{3+4} = -x^7$

б) $x^6 \cdot (-x)^4$
* $(-x)^4 = x^4$, так как четная степень отрицательного числа положительна.
* $x^6 \cdot (-x)^4 = x^6 \cdot x^4 = x^{6+4} = x^{10}$

в) $(-x)^3 \cdot x^4$
* $(-x)^3 = -x^3$, так как нечетная степень отрицательного числа отрицательна.
* $(-x)^3 \cdot x^4 = -x^3 \cdot x^4 = -x^{3+4} = -x^7$

г) $(-x)^4 \cdot (-x)^4$
* $(-x)^4 = x^4$
* $(-x)^4 \cdot (-x)^4 = x^4 \cdot x^4 = x^{4+4} = x^8$

2) a) $(a^2)^3 \cdot a^5$
* При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
* $(a^2)^3 \cdot a^5 = a^{2 \cdot 3} \cdot a^5 = a^6 \cdot a^5 = a^{6+5} = a^{11}$

б) $(a \cdot a^3)^2$
* $(a \cdot a^3)^2 = (a^{1+3})^2 = (a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8$

в) $a^3 \cdot (a^4)^2$
* $a^3 \cdot (a^4)^2 = a^3 \cdot a^{4 \cdot 2} = a^3 \cdot a^8 = a^{3+8} = a^{11}$

г) $(a \cdot a)^5$
* $(a \cdot a)^5 = (a^{1+1})^5 = (a^2)^5 = a^{2 \cdot 5} = a^{10}$

3) a) $(c^4)^3 \cdot (c^2)^3$
* $(c^4)^3 \cdot (c^2)^3 = c^{4 \cdot 3} \cdot c^{2 \cdot 3} = c^{12} \cdot c^6 = c^{12+6} = c^{18}$

б) $(c \cdot c^2)^2 \cdot (c \cdot c^3)^2$
* $(c \cdot c^2)^2 \cdot (c \cdot c^3)^2 = (c^{1+2})^2 \cdot (c^{1+3})^2 = (c^3)^2 \cdot (c^4)^2 = c^{3 \cdot 2} \cdot c^{4 \cdot 2} = c^6 \cdot c^8 = c^{6+8} = c^{14}$

в) $(c^3)^2 \cdot (c^2)^2$
* $(c^3)^2 \cdot (c^2)^2 = c^{3 \cdot 2} \cdot c^{2 \cdot 2} = c^6 \cdot c^4 = c^{6+4} = c^{10}$

4) a) $y^{12} : (y^3)^2$
* При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$
* $y^{12} : (y^3)^2 = y^{12} : y^{3 \cdot 2} = y^{12} : y^6 = y^{12-6} = y^6$

б) $(y^4)^5 : (y^3)^2$
* $(y^4)^5 : (y^3)^2 = y^{4 \cdot 5} : y^{3 \cdot 2} = y^{20} : y^6 = y^{20-6} = y^{14}$

в) $(y \cdot y^2)^3 : (y \cdot y^3)^2$
* $(y \cdot y^2)^3 : (y \cdot y^3)^2 = (y^{1+2})^3 : (y^{1+3})^2 = (y^3)^3 : (y^4)^2 = y^{3 \cdot 3} : y^{4 \cdot 2} = y^9 : y^8 = y^{9-8} = y^1 = y$

Задание 2

Придумайте какое-либо выражение с переменной $x$, в результате преобразования которого получилось бы выражение:

a) $x^{12}$
* Пример: $(x^6)^2$

б) $x^{30}$
* Пример: $(x^5)^6$

в) $-x^{24}$
* Пример: $-(x^8)^3$

Задание 3

Используя свойства степеней, найдите значение выражения:

1) a) $3^7 \cdot (3^2)^3 : 3^{10}$
* $3^7 \cdot (3^2)^3 : 3^{10} = 3^7 \cdot 3^{2 \cdot 3} : 3^{10} = 3^7 \cdot 3^6 : 3^{10} = 3^{7+6} : 3^{10} = 3^{13} : 3^{10} = 3^{13-10} = 3^3 = 27$

Окей, сейчас я подробно объясню решение задачи 3.1a: $3^7 \cdot (3^2)^3 : 3^{10}$

Задание 3.1a

Вычислить: $3^7 \cdot (3^2)^3 : 3^{10}$

1. Первый шаг: Упрощаем степень в степени

   • Используем правило: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
   • $(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$
   • Выражение теперь выглядит так: $3^7 \cdot 3^6 : 3^{10}$

2. Второй шаг: Умножаем степени с одинаковым основанием

   • Используем правило: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
   • $3^7 \cdot 3^6 = 3^{7+6} = 3^{13}$
   • Выражение теперь выглядит так: $3^{13} : 3^{10}$

3. Третий шаг: Делим степени с одинаковым основанием

   • Используем правило: $a^m : a^n = a^{m-n}$
   • $3^{13} : 3^{10} = 3^{13-10} = 3^3$

4. Четвертый шаг: Вычисляем значение степени

   • $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Ответ: $3^7 \cdot (3^2)^3 : 3^{10} = 27$

Ассистент: Конечно, вот еще один пример для закрепления материала.

Дополнительный пример

Упростите выражение:

$2^5 \cdot (2^3)^2 : 2^4$

1. Первый шаг: Упрощаем степень в степени

   • Используем правило: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
   • $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$
   • Выражение теперь выглядит так: $2^5 \cdot 2^6 : 2^4$

2. Второй шаг: Умножаем степени с одинаковым основанием

   • Используем правило: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
   • $2^5 \cdot 2^6 = 2^{5+6} = 2^{11}$
   • Выражение теперь выглядит так: $2^{11} : 2^4$

3. Третий шаг: Делим степени с одинаковым основанием

   • Используем правило: $a^m : a^n = a^{m-n}$
   • $2^{11} : 2^4 = 2^{11-4} = 2^7$

4. Четвертый шаг: Вычисляем значение степени

   • $2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$

Ответ: $2^5 \cdot (2^3)^2 : 2^4 = 128$