Решение C-22: Упрощение выражений со степенями

Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу тебе решить задания C-22.

Задание 1

Упростите выражение:

1) a) \(x^3 \cdot (-x^4)\)
* При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
* \(x^3 \cdot (-x^4) = -x^{3+4} = -x^7\)

б) \(x^6 \cdot (-x)^4\)
* \((-x)^4 = x^4\), так как четная степень отрицательного числа положительна.
* \(x^6 \cdot (-x)^4 = x^6 \cdot x^4 = x^{6+4} = x^{10}\)

в) \((-x)^3 \cdot x^4\)
* \((-x)^3 = -x^3\), так как нечетная степень отрицательного числа отрицательна.
* \((-x)^3 \cdot x^4 = -x^3 \cdot x^4 = -x^{3+4} = -x^7\)

г) \((-x)^4 \cdot (-x)^4\)
* \((-x)^4 = x^4\)
* \((-x)^4 \cdot (-x)^4 = x^4 \cdot x^4 = x^{4+4} = x^8\)

2) a) \((a^2)^3 \cdot a^5\)
* При возведении степени в степень показатели перемножаются: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
* \((a^2)^3 \cdot a^5 = a^{2 \cdot 3} \cdot a^5 = a^6 \cdot a^5 = a^{6+5} = a^{11}\)

б) \((a \cdot a^3)^2\)
* \((a \cdot a^3)^2 = (a^{1+3})^2 = (a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8\)

в) \(a^3 \cdot (a^4)^2\)
* \(a^3 \cdot (a^4)^2 = a^3 \cdot a^{4 \cdot 2} = a^3 \cdot a^8 = a^{3+8} = a^{11}\)

г) \((a \cdot a)^5\)
* \((a \cdot a)^5 = (a^{1+1})^5 = (a^2)^5 = a^{2 \cdot 5} = a^{10}\)

3) a) \((c^4)^3 \cdot (c^2)^3\)
* \((c^4)^3 \cdot (c^2)^3 = c^{4 \cdot 3} \cdot c^{2 \cdot 3} = c^{12} \cdot c^6 = c^{12+6} = c^{18}\)

б) \((c \cdot c^2)^2 \cdot (c \cdot c^3)^2\)
* \((c \cdot c^2)^2 \cdot (c \cdot c^3)^2 = (c^{1+2})^2 \cdot (c^{1+3})^2 = (c^3)^2 \cdot (c^4)^2 = c^{3 \cdot 2} \cdot c^{4 \cdot 2} = c^6 \cdot c^8 = c^{6+8} = c^{14}\)

в) \((c^3)^2 \cdot (c^2)^2\)
* \((c^3)^2 \cdot (c^2)^2 = c^{3 \cdot 2} \cdot c^{2 \cdot 2} = c^6 \cdot c^4 = c^{6+4} = c^{10}\)

4) a) \(y^{12} : (y^3)^2\)
* При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(a^m : a^n = a^{m-n}\)
* \(y^{12} : (y^3)^2 = y^{12} : y^{3 \cdot 2} = y^{12} : y^6 = y^{12-6} = y^6\)

б) \((y^4)^5 : (y^3)^2\)
* \((y^4)^5 : (y^3)^2 = y^{4 \cdot 5} : y^{3 \cdot 2} = y^{20} : y^6 = y^{20-6} = y^{14}\)

в) \((y \cdot y^2)^3 : (y \cdot y^3)^2\)
* \((y \cdot y^2)^3 : (y \cdot y^3)^2 = (y^{1+2})^3 : (y^{1+3})^2 = (y^3)^3 : (y^4)^2 = y^{3 \cdot 3} : y^{4 \cdot 2} = y^9 : y^8 = y^{9-8} = y^1 = y\)

Задание 2

Придумайте какое-либо выражение с переменной \(x\), в результате преобразования которого получилось бы выражение:

a) \(x^{12}\)
* Пример: \((x^6)^2\)

б) \(x^{30}\)
* Пример: \((x^5)^6\)

в) \(-x^{24}\)
* Пример: \(-(x^8)^3\)

Задание 3

Используя свойства степеней, найдите значение выражения:

1) a) \(3^7 \cdot (3^2)^3 : 3^{10}\)
* \(3^7 \cdot (3^2)^3 : 3^{10} = 3^7 \cdot 3^{2 \cdot 3} : 3^{10} = 3^7 \cdot 3^6 : 3^{10} = 3^{7+6} : 3^{10} = 3^{13} : 3^{10} = 3^{13-10} = 3^3 = 27\)

Окей, сейчас я подробно объясню решение задачи 3.1a: \(3^7 \cdot (3^2)^3 : 3^{10}\)

Задание 3.1a

Вычислить: \(3^7 \cdot (3^2)^3 : 3^{10}\)

1. Первый шаг: Упрощаем степень в степени

   • Используем правило: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
   • \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\)
   • Выражение теперь выглядит так: \(3^7 \cdot 3^6 : 3^{10}\)

2. Второй шаг: Умножаем степени с одинаковым основанием

   • Используем правило: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
   • \(3^7 \cdot 3^6 = 3^{7+6} = 3^{13}\)
   • Выражение теперь выглядит так: \(3^{13} : 3^{10}\)

3. Третий шаг: Делим степени с одинаковым основанием

   • Используем правило: \(a^m : a^n = a^{m-n}\)
   • \(3^{13} : 3^{10} = 3^{13-10} = 3^3\)

4. Четвертый шаг: Вычисляем значение степени

   • \(3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\)

Ответ: \(3^7 \cdot (3^2)^3 : 3^{10} = 27\)

Ассистент: Конечно, вот еще один пример для закрепления материала.

Дополнительный пример

Упростите выражение:

\(2^5 \cdot (2^3)^2 : 2^4\)

1. Первый шаг: Упрощаем степень в степени

   • Используем правило: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
   • \((2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6\)
   • Выражение теперь выглядит так: \(2^5 \cdot 2^6 : 2^4\)

2. Второй шаг: Умножаем степени с одинаковым основанием

   • Используем правило: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
   • \(2^5 \cdot 2^6 = 2^{5+6} = 2^{11}\)
   • Выражение теперь выглядит так: \(2^{11} : 2^4\)

3. Третий шаг: Делим степени с одинаковым основанием

   • Используем правило: \(a^m : a^n = a^{m-n}\)
   • \(2^{11} : 2^4 = 2^{11-4} = 2^7\)

4. Четвертый шаг: Вычисляем значение степени

   • \(2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128\)

Ответ: \(2^5 \cdot (2^3)^2 : 2^4 = 128\)