Решение систем линейных уравнений: методы Крамера, Гаусса и матричный
Привет! Сейчас я помогу тебе решить эту систему уравнений тремя разными способами.
Задание 1: Решение системы уравнений по правилу Крамера
Система уравнений имеет вид:
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 \
3x_1 + x_2 + x_3 = 7 \
4x_1 + x_2 + 2x_3 = 8
\end{cases}
$$
-
Вычисление главного определителя системы (Δ):
\[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot(1\cdot2 - 1\cdot1) - 2\cdot(3\cdot2 - 1\cdot4) + 3\cdot(3\cdot1 - 1\cdot4) = 1\cdot(2-1) - 2\cdot(6-4) + 3\cdot(3-4) = 1 - 4 - 3 = -6 \] -
Вычисление определителя для x₁ (Δ₁):
Заменяем первый столбец главного определителя на столбец свободных членов:
\[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 7 & 1 & 1 \\ 8 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 5\cdot(1\cdot2 - 1\cdot1) - 2\cdot(7\cdot2 - 1\cdot8) + 3\cdot(7\cdot1 - 1\cdot8) = 5\cdot(2-1) - 2\cdot(14-8) + 3\cdot(7-8) = 5 - 12 - 3 = -10 \] -
Вычисление определителя для x₂ (Δ₂):
Заменяем второй столбец главного определителя на столбец свободных членов:
\[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 3 & 7 & 1 \\ 4 & 8 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot(7\cdot2 - 1\cdot8) - 5\cdot(3\cdot2 - 1\cdot4) + 3\cdot(3\cdot8 - 7\cdot4) = 1\cdot(14-8) - 5\cdot(6-4) + 3\cdot(24-28) = 6 - 10 - 12 = -16 \] -
Вычисление определителя для x₃ (Δ₃):
Заменяем третий столбец главного определителя на столбец свободных членов:
\[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 8 \end{vmatrix} = 1\cdot(1\cdot8 - 7\cdot1) - 2\cdot(3\cdot8 - 7\cdot4) + 5\cdot(3\cdot1 - 1\cdot4) = 1\cdot(8-7) - 2\cdot(24-28) + 5\cdot(3-4) = 1 + 8 - 5 = 4 \] -
Нахождение x₁, x₂ и x₃:
\[ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3} \]\[ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-16}{-6} = \frac{8}{3} \]\[ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3} \]
Ответ:
$$
x_1 = \frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{8}{3}, \quad x_3 = -\frac{2}{3}
$$
Задание 2: Решение системы уравнений методом Гаусса
Система уравнений:
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 \
3x_1 + x_2 + x_3 = 7 \
4x_1 + x_2 + 2x_3 = 8
\end{cases}
$$
-
Запишем расширенную матрицу системы:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 3 & 1 & 1 & | & 7 \\ 4 & 1 & 2 & | & 8 \end{bmatrix} \] -
Приведем матрицу к ступенчатому виду:
- Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3: \(R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1\)
- Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 4: \(R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1\)
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 0 & -5 & -8 & | & -8 \\ 0 & -7 & -10 & | & -12 \end{bmatrix} \]- Умножим вторую строку на -1/5: \(R_2 \rightarrow -\frac{1}{5}R_2\)
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & | & \frac{8}{5} \\ 0 & -7 & -10 & | & -12 \end{bmatrix} \]- Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 7: \(R_3 \rightarrow R_3 + 7R_2\)
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & | & \frac{8}{5} \\ 0 & 0 & \frac{6}{5} & | & \frac{-4}{5} \end{bmatrix} \]- Умножим третью строку на 5/6: \(R_3 \rightarrow \frac{5}{6}R_3\)
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 0 & 1 & \frac{8}{5} & | & \frac{8}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{2}{3} \end{bmatrix} \] -
Решим систему уравнений, начиная с последней строки:
- \(x_3 = -\frac{2}{3}\)
- \(x_2 + \frac{8}{5}x_3 = \frac{8}{5} \Rightarrow x_2 = \frac{8}{5} - \frac{8}{5} \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{8}{5} + \frac{16}{15} = \frac{24+16}{15} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}\)
- \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 \Rightarrow x_1 = 5 - 2 \cdot \frac{8}{3} - 3 \cdot (-\frac{2}{3}) = 5 - \frac{16}{3} + 2 = 7 - \frac{16}{3} = \frac{21-16}{3} = \frac{5}{3}\)
Ответ:
$$
x_1 = \frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{8}{3}, \quad x_3 = -\frac{2}{3}
$$
Задание 3: Решение системы уравнений матричным способом
Система уравнений:
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 \
3x_1 + x_2 + x_3 = 7 \
4x_1 + x_2 + 2x_3 = 8
\end{cases}
$$
-
Запишем систему в матричном виде:
\(AX = B\), где
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix}\), \(X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix}\) -
Найдем обратную матрицу \(A^{-1}\):
-
Вычислим определитель матрицы A (мы уже делали это в методе Крамера): \(\Delta = -6\)
-
Найдем матрицу алгебраических дополнений:
\(C_{11} = (1\cdot2 - 1\cdot1) = 1\)
\(C_{12} = -(3\cdot2 - 1\cdot4) = -2\)
\(C_{13} = (3\cdot1 - 1\cdot4) = -1\)
\(C_{21} = -(2\cdot2 - 3\cdot1) = -1\)
\(C_{22} = (1\cdot2 - 3\cdot4) = -10\)
\(C_{23} = -(1\cdot1 - 2\cdot4) = 7\)
\(C_{31} = (2\cdot1 - 3\cdot1) = -1\)
\(C_{32} = -(1\cdot1 - 3\cdot3) = 8\)
\(C_{33} = (1\cdot1 - 2\cdot3) = -5\)Матрица алгебраических дополнений:
\(C = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & -10 & 7 \\ -1 & 8 & -5 \end{bmatrix}\) -
Транспонируем матрицу алгебраических дополнений:
\(C^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -2 & -10 & 8 \\ -1 & 7 & -5 \end{bmatrix}\)
-
Найдем обратную матрицу: \(A^{-1} = \frac{1}{\Delta} C^T = \frac{1}{-6} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -2 & -10 & 8 \\ -1 & 7 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{5}{3} & -\frac{4}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{7}{6} & \frac{5}{6} \end{bmatrix}\)
-
-
Найдем решение \(X = A^{-1}B\):
\(X = \begin{bmatrix} -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{5}{3} & -\frac{4}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{7}{6} & \frac{5}{6} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{5}{6} + \frac{7}{6} + \frac{8}{6} \\ \frac{5}{3} + \frac{35}{3} - \frac{32}{3} \\ \frac{5}{6} - \frac{49}{6} + \frac{40}{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{10}{6} \\ \frac{8}{3} \\ -\frac{4}{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{3} \\ \frac{8}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{bmatrix}\)
Ответ:
$$
x_1 = \frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{8}{3}, \quad x_3 = -\frac{2}{3}
$$
