Упрощение алгебраического выражения с корнями: подробное решение

Здравствуйте! Давайте разберем это задание по шагам.

Задание 1: Упростить выражение

Исходное выражение:
\((\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2}{a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1} - \frac{a^{\frac{1}{2}} - 2}{a - 1}) \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}}}\) при \(a > 0, a \neq 1\).

Для удобства будем выполнять действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках.

Шаг 1: Упрощение знаменателей в скобках

Рассмотрим знаменатели дробей в скобках.

1. Первый знаменатель: \(a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1\)
   Это выражение является полным квадратом. Вспомним формулу квадрата суммы: \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\).
   Если мы заменим \(x = a^{\frac{1}{2}}\) и \(y = 1\), то получим:
   \((a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2 = a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1\).
   Таким образом, знаменатель можно свернуть:
   \(a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1 = (a^{\frac{1}{2}} + 1)^2\)

2. Второй знаменатель: \(a - 1\)
   Это выражение является разностью квадратов. Вспомним формулу: \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\).
   Представим \(a\) как \((a^{\frac{1}{2}})^2\) и \(1\) как \(1^2\):
   \(a - 1 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)\)

Теперь подставим упрощенные знаменатели обратно в выражение в скобках:
\(\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2} - \frac{a^{\frac{1}{2}} - 2}{(a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)}\)

Шаг 2: Вычитание дробей в скобках

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю.
* Общий знаменатель: \((a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)\)
* Дополнительный множитель для первой дроби: \((a^{\frac{1}{2}} - 1)\)
* Дополнительный множитель для второй дроби: \((a^{\frac{1}{2}} + 1)\)

Выполним вычитание:
\(\frac{(a^{\frac{1}{2}} + 2)(a^{\frac{1}{2}} - 1) - (a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 1)}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)}\)

Раскроем скобки в числителе:
* \((a^{\frac{1}{2}} + 2)(a^{\frac{1}{2}} - 1) = (a^{\frac{1}{2}})^2 - a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{1}{2}} - 2 = a + a^{\frac{1}{2}} - 2\)
* \((a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 1) = (a^{\frac{1}{2}})^2 + a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{2}} - 2 = a - a^{\frac{1}{2}} - 2\)

Подставим раскрытые выражения в числитель:
\(\frac{(a + a^{\frac{1}{2}} - 2) - (a - a^{\frac{1}{2}} - 2)}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)}\)

Раскроем вторые скобки в числителе, меняя знаки на противоположные:
\(\frac{a + a^{\frac{1}{2}} - 2 - a + a^{\frac{1}{2}} + 2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)}\)

Приведем подобные слагаемые в числителе:
\(\frac{(a-a) + (a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}) + (-2+2)}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)} = \frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)}\)

Шаг 3: Умножение на вторую дробь

Теперь вернемся к исходному выражению и умножим результат, полученный в скобках, на вторую дробь:
\(\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}}}\)

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
1. Сокращаем \(a^{\frac{1}{2}}\):
\(\frac{2\cancel{a^{\frac{1}{2}}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{\cancel{a^{\frac{1}{2}}}}\)
2. Сокращаем \((a^{\frac{1}{2}} + 1)\). В знаменателе \((a^{\frac{1}{2}} + 1)^2\) превратится в \((a^{\frac{1}{2}} + 1)\):
\(\frac{2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\cancel{2}} (a^{\frac{1}{2}} - 1)} \cdot \frac{\cancel{a^{\frac{1}{2}} + 1}}{1} = \frac{2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1)}\)

Шаг 4: Финальное упрощение

Знаменатель \((a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1)\) — это формула разности квадратов, которую мы уже использовали. Свернем ее обратно:
\((a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1) = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = a - 1\)

В итоге получаем:
\(\frac{2}{a - 1}\)

Ответ:
\(\frac{2}{a - 1}\)

Здравствуйте! Конечно, давайте разберем решение этого примера еще более подробно, с детальными комментариями к каждому шагу и указанием всех использованных правил и формул.

Задание 1: Упростить выражение (Подробное объяснение)

Исходное выражение:
\((\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2}{a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1} - \frac{a^{\frac{1}{2}} - 2}{a - 1}) \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}}}\) при \(a > 0, a \neq 1\).

Наша стратегия — сначала выполнить действие в скобках (вычитание дробей), а затем результат умножить на вторую дробь.

Шаг 1: Преобразование знаменателей в скобках

Чтобы работать с дробями, нужно максимально упростить их знаменатели. Часто они скрывают в себе формулы сокращенного умножения.

1.1. Анализ первого знаменателя: \(a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1\)

• Наблюдение: Это выражение похоже на формулу квадрата суммы: \(x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2\).
• Применение правила: Давайте проверим, подходит ли наш знаменатель под эту формулу. Для этого нужно представить \(a\) как квадрат какого-то числа.
  • Используем свойство степеней: \(a = a^1 = (a^{\frac{1}{2}})^2\).
  • Теперь наш знаменатель выглядит так: \((a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2\).
• Сравнение с формулой:
  • Если взять \(x = a^{\frac{1}{2}}\) и \(y = 1\), то формула \(x^2 + 2xy + y^2\) в точности совпадает с нашим выражением.
• Вывод: Мы можем "свернуть" знаменатель по формуле квадрата суммы.
  \(a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1 = (a^{\frac{1}{2}} + 1)^2\)

1.2. Анализ второго знаменателя: \(a - 1\)

• Наблюдение: Это выражение похоже на формулу разности квадратов: \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\).
• Применение правила: Снова представим \(a\) как \((a^{\frac{1}{2}})^2\) и \(1\) как \(1^2\).
  • Наш знаменатель: \((a^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2\).
• Сравнение с формулой:
  • Если взять \(x = a^{\frac{1}{2}}\) и \(y = 1\), то формула \(x^2 - y^2\) в точности совпадает с нашим выражением.
• Вывод: Мы можем "разложить" знаменатель по формуле разности квадратов.
  \(a - 1 = (a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)\)

Шаг 2: Вычитание дробей в скобках

Теперь, когда знаменатели преобразованы, подставим их обратно в скобки:
\(\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2} - \frac{a^{\frac{1}{2}} - 2}{(a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)}\)

2.1. Нахождение общего знаменателя

Чтобы вычесть дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель должен содержать все множители из каждого знаменателя в наивысшей степени.
* Знаменатель 1: \((a^{\frac{1}{2}} + 1)^2\)
* Знаменатель 2: \((a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)\)
* Общий знаменатель: \((a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)\)

2.2. Нахождение дополнительных множителей

• Для первой дроби не хватает множителя \((a^{\frac{1}{2}} - 1)\).
• Для второй дроби не хватает множителя \((a^{\frac{1}{2}} + 1)\).

2.3. Выполнение вычитания

Умножаем числители на их дополнительные множители и записываем под общим знаменателем:
\(\frac{(a^{\frac{1}{2}} + 2)(a^{\frac{1}{2}} - 1) - (a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 1)}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)}\)

2.4. Раскрытие скобок в числителе

Раскроем скобки, умножая каждый член одной скобки на каждый член другой:
* Первое произведение:
\((a^{\frac{1}{2}} + 2)(a^{\frac{1}{2}} - 1) = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot a^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1 = a - a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{1}{2}} - 2 = \boldsymbol{a + a^{\frac{1}{2}} - 2}\)
* Второе произведение:
\((a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 1) = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot a^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1 = a + a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{2}} - 2 = \boldsymbol{a - a^{\frac{1}{2}} - 2}\)

Подставляем полученные выражения в числитель:
\(\frac{(a + a^{\frac{1}{2}} - 2) - (a - a^{\frac{1}{2}} - 2)}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)}\)

Важный момент: Вторая скобка стоит после знака "минус", поэтому при ее раскрытии все знаки внутри изменятся на противоположные.
\(\frac{a + a^{\frac{1}{2}} - 2 - a + a^{\frac{1}{2}} + 2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)}\)

2.5. Приведение подобных слагаемых в числителе

Сгруппируем и сложим одинаковые члены:
* \(a - a = 0\)
* \(a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}}\)
* \(-2 + 2 = 0\)

В числителе остается только \(2a^{\frac{1}{2}}\).
Результат действия в скобках: \(\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)}\)

Шаг 3: Умножение на вторую дробь

Теперь умножим полученный результат на дробь, которая стояла за скобками:
\(\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}}}\)

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Но удобнее сразу сокращать одинаковые множители.

• Сокращаем \(a^{\frac{1}{2}}\): Этот множитель есть в числителе первой дроби и в знаменателе второй.
  \(\frac{2\cancel{a^{\frac{1}{2}}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2 (a^{\frac{1}{2}} - 1)} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{\cancel{a^{\frac{1}{2}}}}\)
• Сокращаем \((a^{\frac{1}{2}} + 1)\): Этот множитель есть в числителе второй дроби и в знаменателе первой (в квадрате). При сокращении в знаменателе останется первая степень.
  \(\frac{2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\cancel{2}} (a^{\frac{1}{2}} - 1)} \cdot \frac{\cancel{a^{\frac{1}{2}} + 1}}{1} = \frac{2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1)}\)

Шаг 4: Финальное упрощение

Мы получили выражение \(\frac{2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1)}\).
Знаменатель — это снова формула разности квадратов, которую мы уже раскладывали в шаге 1.2. Теперь свернем ее обратно:
\((a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1) = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = a - 1\)

Подставляем свернутый знаменатель в наше выражение:
\(\frac{2}{a - 1}\)

Это и есть окончательный, упрощенный вид выражения.

Итоговый ответ:

\(\frac{2}{a - 1}\)