Упрощение выражений со степенями: решение задач

Задание a)

Для решения этого задания необходимо упростить выражение, используя свойства степеней.

Дано:
\(M = \frac{10^3 \cdot 15^2}{6^2 \cdot 5^5}\)

Шаг 1: Разложим основания степеней на простые множители.
* \(10 = 2 \cdot 5\)
* \(15 = 3 \cdot 5\)
* \(6 = 2 \cdot 3\)

Подставим эти разложения в исходное выражение:
\(M = \frac{(2 \cdot 5)^3 \cdot (3 \cdot 5)^2}{(2 \cdot 3)^2 \cdot 5^5}\)

Шаг 2: Применим свойство степени произведения \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\).
\(M = \frac{2^3 \cdot 5^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}\)

Шаг 3: Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство степени произведения \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\(M = \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^{3+2}}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}\)
\(M = \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^5}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}\)

Шаг 4: Применим свойство деления степеней с одинаковыми основаниями \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
\(M = 2^{3-2} \cdot 3^{2-2} \cdot 5^{5-5}\)
\(M = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^0\)

Шаг 5: Вспомним, что любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1 (\(a^0 = 1\)).
\(M = 2 \cdot 1 \cdot 1\)
\(M = 2\)

Ответ:
\(M = 2\)

Bài tập a)

Để giải bài tập này, chúng ta cần rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng các quy tắc về lũy thừa.

Cho trước:
\(M = \frac{10^3 \cdot 15^2}{6^2 \cdot 5^5}\)

Bước 1: Phân tích các cơ số của lũy thừa thành thừa số nguyên tố.
* \(10 = 2 \cdot 5\)
* \(15 = 3 \cdot 5\)
* \(6 = 2 \cdot 3\)

Thay các phân tích này vào biểu thức ban đầu:
\(M = \frac{(2 \cdot 5)^3 \cdot (3 \cdot 5)^2}{(2 \cdot 3)^2 \cdot 5^5}\)

Bước 2: Áp dụng quy tắc lũy thừa của một tích \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\).
\(M = \frac{2^3 \cdot 5^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}\)

Bước 3: Nhóm các thừa số có cùng cơ số và áp dụng quy tắc nhân các lũy thừa cùng cơ số \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\(M = \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^{3+2}}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}\)
\(M = \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^5}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}\)

Bước 4: Áp dụng quy tắc chia các lũy thừa cùng cơ số \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
\(M = 2^{3-2} \cdot 3^{2-2} \cdot 5^{5-5}\)
\(M = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^0\)

Bước 5: Nhớ rằng bất kỳ số nào (khác 0) mũ 0 đều bằng 1 (\(a^0 = 1\)).
\(M = 2 \cdot 1 \cdot 1\)
\(M = 2\)

Kết quả:
\(M = 2\)

Bạn yêu cầu tiếp tục giải các bài tập còn lại trong ảnh. Tuy nhiên, ảnh bạn cung cấp chỉ chứa một bài tập duy nhất là bài tập a).

Nếu bạn có thêm các bài tập khác, vui lòng cung cấp chúng để tôi có thể hỗ trợ bạn.

Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về chủ đề "Các quy tắc về lũy thừa", tôi có thể cung cấp cho bạn: