Решение линейных неравенств с дробями: пошаговое объяснение и ответы

Я понял, вам нужно решить неравенства и записать ответы в виде числовых промежутков. Давайте сделаем это по порядку.

Задание 1

\(\frac{1}{3}x - \frac{1}{6}x + 4 > \frac{1}{9}x - 1\)

1. Приведем подобные члены с \(x\) в левой части:
   \(\frac{1}{3}x - \frac{1}{6}x - \frac{1}{9}x > -1 - 4\)

2. Найдем общий знаменатель для дробей с \(x\) (НОК(3, 6, 9) = 18):
   \(\frac{6}{18}x - \frac{3}{18}x - \frac{2}{18}x > -5\)

3. Упростим выражение с \(x\):
   \(\frac{1}{18}x > -5\)

4. Умножим обе части неравенства на 18:
   \(x > -5 \cdot 18\)
   \(x > -90\)

Ответ: \(x \in (-90; +\infty)\)

Задание 2

\(\frac{1}{8}x - 3 < 7 - \frac{1}{2}x\)

1. Перенесем члены с \(x\) в левую часть, а числа - в правую:
   \(\frac{1}{8}x + \frac{1}{2}x < 7 + 3\)

2. Приведем подобные члены с \(x\) (НОК(8, 2) = 8):
   \(\frac{1}{8}x + \frac{4}{8}x < 10\)

3. Упростим выражение с \(x\):
   \(\frac{5}{8}x < 10\)

4. Умножим обе части неравенства на \(\frac{8}{5}\):
   \(x < 10 \cdot \frac{8}{5}\)
   \(x < 16\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 16)\)

Задание 3

\(1 - \frac{4}{9}x < 2 - \frac{2}{3}x - \frac{2}{27}\)

1. Перенесем члены с \(x\) в правую часть, а числа - в левую:
   \(1 - 2 + \frac{2}{27} < \frac{4}{9}x - \frac{2}{3}x\)

2. Приведем подобные члены в обеих частях (НОК(9, 3) = 9):
   \(-1 + \frac{2}{27} < \frac{4}{9}x - \frac{6}{9}x\)
   \(-\frac{25}{27} < -\frac{2}{9}x\)

3. Умножим обе части неравенства на \(-\frac{9}{2}\) (не забываем изменить знак неравенства):
   \(-\frac{25}{27} \cdot (-\frac{9}{2}) > x\)
   \(\frac{25}{6} > x\)

4. Запишем в виде числового промежутка:
   \(x < \frac{25}{6}\)

Ответ: \(x \in (-\infty; \frac{25}{6})\)

Ассистент: Я вижу еще несколько заданий с неравенствами. Давайте продолжим их решать по порядку.

Задание 4

\(\frac{3}{5}x + 2 > \frac{4}{11}x - \frac{11}{15}\)

1. Перенесем члены с \(x\) в левую часть, а числа - в правую:
   \(\frac{3}{5}x - \frac{4}{11}x > -\frac{11}{15} - 2\)

2. Приведем подобные члены в обеих частях (НОК(5, 11) = 55 и НОК(15, 1) = 15):
   \(\frac{33}{55}x - \frac{20}{55}x > -\frac{11}{15} - \frac{30}{15}\)
   \(\frac{13}{55}x > -\frac{41}{15}\)

3. Умножим обе части неравенства на \(\frac{55}{13}\):
   \(x > -\frac{41}{15} \cdot \frac{55}{13}\)
   \(x > -\frac{41 \cdot 11}{3 \cdot 13}\)
   \(x > -\frac{451}{39}\)

Ответ: \(x \in (-\frac{451}{39}; +\infty)\)