Решение задач на нахождение производных и первообразных функций

Здравствуйте! Давайте решим задания по порядку.

Задание 1

Необходимо установить соответствие между функциями и их производными.

1. \(f(x) = x^3 + \ln x\)

   • Производная \(x^3\) равна \(3x^2\).
   • Производная \(\ln x\) равна \(\frac{1}{x}\).
   • Следовательно, \(f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{x}\).
   • Соответствует варианту A.

2. \(f(x) = \ln(3x - 1)\)

   • Производная \(\ln(u)\) равна \(\frac{u'}{u}\).
   • В данном случае \(u = 3x - 1\), поэтому \(u' = 3\).
   • Следовательно, \(f'(x) = \frac{3}{3x - 1}\).
   • Соответствует варианту Б.

3. \(f(x) = x^3 \cdot \ln x\)

   • Используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\).
   • \(u = x^3\), \(u' = 3x^2\).
   • \(v = \ln x\), \(v' = \frac{1}{x}\).
   • Следовательно, \(f'(x) = 3x^2 \cdot \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \cdot \ln x + x^2\).
   • Соответствует варианту B.

Ответ:
1 - A, 2 - Б, 3 - B

Задание 2

Найти дифференциал функции \(y = 5 \sin(3x)\).

• Дифференциал функции \(y = f(x)\) равен \(dy = f'(x) dx\).
• Производная \(y' = 5 \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 15 \cos(3x)\).
• Следовательно, \(dy = 15 \cos(3x) dx\).

Ответ:
A) \(dy = 15 \cos(3x) dx\)

Задание 3

Найти множество всех первообразных функции \(y = 2e^x\).

• Первообразная \(e^x\) это \(e^x\).
• Первообразная \(2e^x\) это \(2e^x + C\), где \(C\) - константа интегрирования.

Ответ:
В) \(2e^x + C\)