Здесь разобрано, как находить обратную матрицу 2 на 2 по формуле. Пришли свою матрицу, и мы найдём для неё обратную и проверим умножением. Ниже готовое решение задач 1.16 (обратная матрица для восьми матриц), 1.17 (при каком λ обратной нет), 1.18 (системы через обратную матрицу) и 1.19 (матричные уравнения) из сборника.
Пришли свою матрицу 2 на 2 (или 3 на 3): найдём обратную, покажем определитель и проверим умножением.
Найти обратную матрицуКак найти обратную матрицу 2 на 2
Для матрицы \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\):
- Найди определитель: \(\det A = ad - bc\). Если он равен \(0\), обратной матрицы нет.
- Поменяй местами \(a\) и \(d\), а у \(b\) и \(c\) смени знаки.
- Раздели всё на \(\det A\): \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).
- Проверь умножением: \(A\cdot A^{-1}=E\).
Задачи и решения
1.16 а Найти матрицу, обратную данной: $A=\begin{pmatrix}2&1\\7&4\end{pmatrix}$
Ответ $A^{-1}=\begin{pmatrix}4&-1\\-7&2\end{pmatrix}$
Определитель: \(\det A = 2\cdot4 - 1\cdot7 = 1 \ne 0\), обратная матрица есть.
Меняем местами \(2\) и \(4\), у \(1\) и \(7\) меняем знаки и делим на \(\det A = 1\):
\(A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}4&-1\\-7&2\end{pmatrix}\).
Проверка: \(A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\7&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-1\\-7&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E\).
1.16 б Найти матрицу, обратную данной: $A=\begin{pmatrix}3&-5\\-4&7\end{pmatrix}$
Ответ $A^{-1}=\begin{pmatrix}7&5\\4&3\end{pmatrix}$
Определитель: \(\det A = 3\cdot7 - (-5)\cdot(-4) = 21 - 20 = 1\).
Меняем местами \(3\) и \(7\), у \(-5\) и \(-4\) меняем знаки: получаем \(\begin{pmatrix}7&5\\4&3\end{pmatrix}\), делить на \(1\) не нужно.
Проверка: первая строка \(A\) на первый столбец ответа: \(3\cdot7 + (-5)\cdot4 = 1\); на второй: \(3\cdot5 + (-5)\cdot3 = 0\). Вторая строка: \(-4\cdot7 + 7\cdot4 = 0\) и \(-4\cdot5 + 7\cdot3 = 1\). Получилась единичная матрица \(E\).
1.16 в Найти матрицу, обратную данной: $A=\begin{pmatrix}-3&-8\\2&6\end{pmatrix}$
Ответ $A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&-4\\1&\frac{3}{2}\end{pmatrix}$
Определитель: \(\det A = (-3)\cdot6 - (-8)\cdot2 = -18 + 16 = -2 \ne 0\).
Меняем местами \(-3\) и \(6\), у \(-8\) и \(2\) меняем знаки и делим на \(-2\):
\(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}6&8\\-2&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&-4\\1&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\).
Проверка: \((-3)\cdot(-3) + (-8)\cdot1 = 1\); \((-3)\cdot(-4) + (-8)\cdot\frac{3}{2} = 0\); \(2\cdot(-3) + 6\cdot1 = 0\); \(2\cdot(-4) + 6\cdot\frac{3}{2} = 1\). Получилась \(E\).
1.16 г Найти матрицу, обратную данной: $A=\begin{pmatrix}\cos\alpha&1\\\sin^2\alpha&-\cos\alpha\end{pmatrix}$
Ответ $A^{-1}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&1\\\sin^2\alpha&-\cos\alpha\end{pmatrix}$ (обратная матрица совпадает с $A$)
Определитель: \(\det A = \cos\alpha\cdot(-\cos\alpha) - 1\cdot\sin^2\alpha = -(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = -1 \ne 0\) при любом \(\alpha\).
Меняем местами \(\cos\alpha\) и \(-\cos\alpha\), у \(1\) и \(\sin^2\alpha\) меняем знаки и делим на \(-1\):
\(A^{-1}=-1\cdot\begin{pmatrix}-\cos\alpha&-1\\-\sin^2\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&1\\\sin^2\alpha&-\cos\alpha\end{pmatrix}\).
Проверка: \(A\cdot A\) даёт на диагонали \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\), а вне диагонали \(\cos\alpha - \cos\alpha = 0\) и \(\sin^2\alpha\cos\alpha - \cos\alpha\sin^2\alpha = 0\). Значит \(A^2=E\) и \(A^{-1}=A\).
1.16 д Найти матрицу, обратную данной: $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
Ответ $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ при $ad-bc\ne0$
Это общая формула для матрицы \(2\times2\).
Определитель: \(\det A = ad - bc\). Если \(ad - bc = 0\), обратной матрицы нет.
Если \(ad - bc \ne 0\): меняем местами \(a\) и \(d\), у \(b\) и \(c\) меняем знаки и делим всё на \(ad - bc\).
Проверка: \(A\cdot A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ba\\cd-dc&-cb+da\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\).
1.16 е Найти матрицу, обратную данной: $A=\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&-1&2\\3&-2&-1\end{pmatrix}$
Ответ $A^{-1}=\begin{pmatrix}5&4&3\\4&3&2\\7&6&4\end{pmatrix}$
Определитель (разложение по первой строке): \(\det A = 0\cdot5 - 2\cdot(-4) + (-1)\cdot7 = 8 - 7 = 1 \ne 0\).
Алгебраические дополнения: \(A_{11}=5\), \(A_{12}=4\), \(A_{13}=7\), \(A_{21}=4\), \(A_{22}=3\), \(A_{23}=6\), \(A_{31}=3\), \(A_{32}=2\), \(A_{33}=4\).
Составляем матрицу из дополнений, транспонируем и делим на \(\det A = 1\):
\(A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}5&4&3\\4&3&2\\7&6&4\end{pmatrix}\).
Проверка: строки \(A\) на столбцы ответа. Первая строка: \(0\cdot5 + 2\cdot4 - 1\cdot7 = 1\), \(0\cdot4 + 2\cdot3 - 1\cdot6 = 0\), \(0\cdot3 + 2\cdot2 - 1\cdot4 = 0\). Вторая: \(-10-4+14=0\), \(-8-3+12=1\), \(-6-2+8=0\). Третья: \(15-8-7=0\), \(12-6-6=0\), \(9-4-4=1\). Получилась \(E\).
1.16 ж Найти матрицу, обратную данной: $A=\begin{pmatrix}3&1&-5\\1&2&4\\3&2&-1\end{pmatrix}$
Ответ $A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-10&-9&14\\13&12&-17\\-4&-3&5\end{pmatrix}$
Определитель: \(\det A = 3\cdot(-10) - 1\cdot(-13) + (-5)\cdot(-4) = -30 + 13 + 20 = 3 \ne 0\).
Алгебраические дополнения: \(A_{11}=-10\), \(A_{12}=13\), \(A_{13}=-4\), \(A_{21}=-9\), \(A_{22}=12\), \(A_{23}=-3\), \(A_{31}=14\), \(A_{32}=-17\), \(A_{33}=5\).
Транспонируем матрицу дополнений и делим на \(3\):
\(A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-10&-9&14\\13&12&-17\\-4&-3&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{10}{3}&-3&\frac{14}{3}\\\frac{13}{3}&4&-\frac{17}{3}\\-\frac{4}{3}&-1&\frac{5}{3}\end{pmatrix}\).
Проверка первой строки: \(3\cdot(-10) + 1\cdot13 + (-5)\cdot(-4) = 3\), затем \(3\cdot(-9) + 12 + 15 = 0\) и \(3\cdot14 - 17 - 25 = 0\). После деления на \(3\) получаются \(1\), \(0\), \(0\). Остальные строки проверяются так же.
1.16 з Найти матрицу, обратную данной: $A=\begin{pmatrix}1&2&1\\4&3&-2\\-5&-4&-1\end{pmatrix}$
Ответ $A^{-1}=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}-11&-2&-7\\14&4&6\\-1&-6&-5\end{pmatrix}$
Определитель: \(\det A = 1\cdot(-11) - 2\cdot(-14) + 1\cdot(-1) = -11 + 28 - 1 = 16 \ne 0\).
Алгебраические дополнения: \(A_{11}=-11\), \(A_{12}=14\), \(A_{13}=-1\), \(A_{21}=-2\), \(A_{22}=4\), \(A_{23}=-6\), \(A_{31}=-7\), \(A_{32}=6\), \(A_{33}=-5\).
Транспонируем матрицу дополнений и делим на \(16\):
\(A^{-1}=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}-11&-2&-7\\14&4&6\\-1&-6&-5\end{pmatrix}\).
Проверка первой строки: \(1\cdot(-11) + 2\cdot14 + 1\cdot(-1) = 16\), затем \(-2 + 8 - 6 = 0\) и \(-7 + 12 - 5 = 0\). После деления на \(16\) получаются \(1\), \(0\), \(0\).
1.17 При каком значении $\lambda$ матрица $A=\begin{pmatrix}1&2&2\\3&4&4\\2&3&\lambda\end{pmatrix}$ не имеет обратной?
Ответ $\lambda = 3$
Обратной матрицы нет, когда \(\det A = 0\).
Раскладываем определитель по первой строке:
\(\det A = 1\cdot(4\lambda - 12) - 2\cdot(3\lambda - 8) + 2\cdot(9 - 8) = 4\lambda - 12 - 6\lambda + 16 + 2 = 6 - 2\lambda\).
\(6 - 2\lambda = 0\), значит \(\lambda = 3\).
Проверка: при \(\lambda = 3\) вторая строка минус первая даёт \((2,\ 2,\ 2)\), а третья минус первая даёт \((1,\ 1,\ 1)\). Строки зависимы, определитель равен нулю. При любом другом \(\lambda\) обратная матрица существует.
1.18 а Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы: $x_1 + 4x_2 - 5x_3 = 8,\quad 2x_1 + 3x_2 - 4x_3 = 9,\quad x_1 - 2x_2 - x_3 = 6$
Ответ $x_1=2,\ x_2=-1,\ x_3=-2$
Матричный вид: \(AX=B\), где \(A=\begin{pmatrix}1&4&-5\\2&3&-4\\1&-2&-1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}8\\9\\6\end{pmatrix}\). Решение: \(X=A^{-1}B\).
\(\det A = 1\cdot(-11) - 4\cdot2 + (-5)\cdot(-7) = -11 - 8 + 35 = 16\).
\(A^{-1}=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}-11&14&-1\\-2&4&-6\\-7&6&-5\end{pmatrix}\).
\(X=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}-11&14&-1\\-2&4&-6\\-7&6&-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8\\9\\6\end{pmatrix}=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}32\\-16\\-32\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\).
Проверка подстановкой: \(2 - 4 + 10 = 8\); \(4 - 3 + 8 = 9\); \(2 + 2 + 2 = 6\).
1.18 б Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы: $x_1 + x_2 - 3x_3 = 4,\quad x_1 - x_2 + 5x_3 = -4,\quad x_2 - 6x_3 = 5$
Ответ $x_1=\frac{1}{2},\ x_2=2,\ x_3=-\frac{1}{2}$
Матричный вид: \(AX=B\), где \(A=\begin{pmatrix}1&1&-3\\1&-1&5\\0&1&-6\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}4\\-4\\5\end{pmatrix}\). Решение: \(X=A^{-1}B\).
\(\det A = 1\cdot1 - 1\cdot(-6) + (-3)\cdot1 = 1 + 6 - 3 = 4\).
\(A^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}1&3&2\\6&-6&-8\\1&-1&-2\end{pmatrix}\).
\(X=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}1&3&2\\6&-6&-8\\1&-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\-4\\5\end{pmatrix}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2\\8\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\2\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\).
Проверка подстановкой: \(\frac{1}{2} + 2 + \frac{3}{2} = 4\); \(\frac{1}{2} - 2 - \frac{5}{2} = -4\); \(2 + 3 = 5\).
1.18 в Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы: $x_1 + 2x_2 - x_3 = 3,\quad 5x_1 + 12x_2 - 2x_3 = -1,\quad 4x_1 + 9x_2 - 2x_3 = 2$
Ответ $x_1=3,\ x_2=-2,\ x_3=-4$
Матричный вид: \(AX=B\), где \(A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\5&12&-2\\4&9&-2\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\). Решение: \(X=A^{-1}B\).
\(\det A = 1\cdot(-6) - 2\cdot(-2) + (-1)\cdot(-3) = -6 + 4 + 3 = 1\).
\(A^{-1}=\begin{pmatrix}-6&-5&8\\2&2&-3\\-3&-1&2\end{pmatrix}\).
\(X=\begin{pmatrix}-6&-5&8\\2&2&-3\\-3&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}\).
Проверка подстановкой: \(3 - 4 + 4 = 3\); \(15 - 24 + 8 = -1\); \(12 - 18 + 8 = 2\).
1.19 а Решить матричное уравнение: $X\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$
Ответ $X=\begin{pmatrix}5&-8\\2&-3\end{pmatrix}$
Матрица \(A\) стоит справа от \(X\), поэтому умножаем обе части уравнения на \(A^{-1}\) справа: \(X = B\cdot A^{-1}\).
\(\det A = 2\cdot3 - 5\cdot1 = 1\), \(A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}\).
\(X=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-8\\2&-3\end{pmatrix}\).
Проверка: \(X\cdot A=\begin{pmatrix}5&-8\\2&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=B\).
1.19 б Решить матричное уравнение: $\begin{pmatrix}4&6\\6&9\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$
Ответ Решений нет
Здесь \(\det A = 4\cdot9 - 6\cdot6 = 0\), поэтому обратной матрицы у \(A\) нет и формулу \(X = A^{-1}B\) применить нельзя. Остаётся проверить, есть ли решения вообще.
Пусть \(X=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}\). Первая строка произведения \(AX\) равна \((4p + 6r,\ 4q + 6s)\), вторая равна \((6p + 9r,\ 6q + 9s)\).
Вторая строка \(A\) в полтора раза больше первой, значит и вторая строка \(AX\) в полтора раза больше первой. В правой части обе строки одинаковы: \((1,\ 1)\) и \((1,\ 1)\). Должно выполняться \(1 = 1{,}5\cdot1\), а это неверно.
Условие записано так, как оно видно на фото. Решений нет.
1.19 в Решить матричное уравнение: $\begin{pmatrix}3&-1\\5&-2\end{pmatrix}X\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&16\\9&10\end{pmatrix}$
Ответ $X=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$
Пусть \(A=\begin{pmatrix}3&-1\\5&-2\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\), \(C=\begin{pmatrix}14&16\\9&10\end{pmatrix}\). Уравнение \(AXB=C\). Умножаем слева на \(A^{-1}\), справа на \(B^{-1}\): \(X = A^{-1}CB^{-1}\).
\(\det A = -6 + 5 = -1\), \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\5&-3\end{pmatrix}\).
\(\det B = 40 - 42 = -2\), \(B^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}8&-6\\-7&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&3\\\frac{7}{2}&-\frac{5}{2}\end{pmatrix}\).
\(A^{-1}C=\begin{pmatrix}2&-1\\5&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}14&16\\9&10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\).
\(X=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4&3\\\frac{7}{2}&-\frac{5}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\).
Проверка: \(A X = \begin{pmatrix}0&2\\-1&2\end{pmatrix}\), и \(AXB=\begin{pmatrix}0&2\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&16\\9&10\end{pmatrix}=C\).
1.19 г Решить матричное уравнение: $X\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&3\\4&3&2\\1&-2&5\end{pmatrix}$
Ответ Решений нет
Пусть \(A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}\). Её определитель равен нулю: третья строка равна первой, умноженной на \(-1\). Обратной матрицы нет, формула \(X = BA^{-1}\) не работает.
Смотрим на столбцы. У \(A\) они связаны: третий столбец равен первому минус два вторых, то есть \((-1,\ 0,\ 1) = (1,\ 2,\ -1) - 2\cdot(1,\ 1,\ -1)\).
Столбцы произведения \(XA\) связаны так же: третий равен первому минус два вторых. У правой части \(B\) первый столбец минус два вторых равен \((1+2,\ 4-6,\ 1+4) = (3,\ -2,\ 5)\), а третий столбец \(B\) равен \((3,\ 2,\ 5)\). Они различаются во второй строке (\(-2\) и \(2\)), значит такого \(X\) не существует.
Условие записано так, как оно видно на фото. Решений нет.
Примеры: целые, дробные и вырожденная матрица
Целые элементы: матрица $\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}$
\(\det A = 5\cdot2 - 3\cdot3 = 1\). Меняем местами \(5\) и \(2\), у \(3\) и \(3\) меняем знаки: \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}\).
Проверка: \(A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\).
Дробные элементы: матрица $\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\end{pmatrix}$
\(\det A = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12} = \frac{1}{60}\). Делить на \(\frac{1}{60}\) значит умножать на \(60\):
\(A^{-1}=60\cdot\begin{pmatrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12&-20\\-15&30\end{pmatrix}\).
Проверка: \(\frac{1}{2}\cdot12 + \frac{1}{3}\cdot(-15) = 6 - 5 = 1\); \(\frac{1}{2}\cdot(-20) + \frac{1}{3}\cdot30 = 0\); \(\frac{1}{4}\cdot12 + \frac{1}{5}\cdot(-15) = 0\); \(\frac{1}{4}\cdot(-20) + \frac{1}{5}\cdot30 = 1\).
Вырожденная матрица $\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}$
\(\det A = 2\cdot2 - 4\cdot1 = 0\). Определитель равен нулю, значит обратной матрицы нет: формулу \(\frac{1}{ad-bc}\) применить нельзя, делить на ноль невозможно. Признак такой матрицы: строки (и столбцы) пропорциональны, здесь первая строка вдвое больше второй.
Частые ошибки
-
Меняют местами $b$ и $c$ вместо $a$ и $d$
Главная диагональ (\(a\) и \(d\)) меняется местами, а побочная (\(b\) и \(c\)) остаётся на месте и только меняет знаки: \(\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).
-
Забывают разделить на определитель
Перестановка и смена знаков дают только присоединённую матрицу. Её нужно умножить на \(\frac{1}{\det A}\), причём на все четыре элемента.
-
Не проверяют, что $\det A \ne 0$
Сначала считаем определитель. Если он равен нулю, обратной матрицы нет, и дальше считать бессмысленно.
-
Путают порядок множителей в матричном уравнении
Матрицы не коммутируют. Из \(AX=B\) получаем \(X=A^{-1}B\), а из \(XA=B\) получаем \(X=BA^{-1}\): обратную матрицу пишем с той же стороны, где стоит \(A\).
Вопросы и ответы
Когда у матрицы 2 на 2 нет обратной?
Когда определитель \(ad - bc\) равен нулю. Это значит, что строки (и столбцы) матрицы пропорциональны, например \(\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}\).
Как проверить, что обратная матрица найдена верно?
Умножь исходную матрицу на найденную. Должна получиться единичная матрица \(E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). Достаточно проверить в одном порядке: \(A\cdot A^{-1}=E\).
Как связана формула для 2 на 2 с алгебраическими дополнениями?
Это тот же общий способ \(A^{-1}=\frac{1}{\det A}\,(A_{ij})^T\). Для матрицы \(2\times2\) дополнения равны \(A_{11}=d\), \(A_{12}=-c\), \(A_{21}=-b\), \(A_{22}=a\). После транспонирования получается \(\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).
Чем отличается матрица 3 на 3?
Тот же принцип: определитель, матрица алгебраических дополнений, транспонирование и деление на \(\det A\). Только дополнений девять, и каждое считается как определитель \(2\times2\). Примеры есть в заданиях 1.16 е, ж, з выше.
