Нахождение обратной матрицы 2x2: подробное решение и объяснение

Привет! Сейчас помогу с этими заданиями.

Задание 1.16 (a)

Нужно найти матрицу, обратную данной:
\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}\)

1. Вычисляем определитель матрицы A:
   \(det(A) = (2 \cdot 4) - (1 \cdot 7) = 8 - 7 = 1\)

2. Находим матрицу, составленную из алгебраических дополнений:
   \(C = \begin{bmatrix} 4 & -7 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\)

3. Транспонируем матрицу C:
   \(C^T = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -7 & 2 \end{bmatrix}\)

4. Вычисляем обратную матрицу:
   \(A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot C^T = \frac{1}{1} \cdot \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -7 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -7 & 2 \end{bmatrix}\)

Ответ:
\(A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -7 & 2 \end{bmatrix}\)

Задание 1.16 (б)

Нужно найти матрицу, обратную данной:
\(A = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 7 \end{bmatrix}\)

1. Вычисляем определитель матрицы A:
   \(det(A) = (3 \cdot 7) - (-5 \cdot -4) = 21 - 20 = 1\)

2. Находим матрицу, составленную из алгебраических дополнений:
   \(C = \begin{bmatrix} 7 & 4 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\)

3. Транспонируем матрицу C:
   \(C^T = \begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}\)

4. Вычисляем обратную матрицу:
   \(A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot C^T = \frac{1}{1} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}\)

Ответ:
\(A^{-1} = \begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}\)

Задание 1.16 (в)

Нужно найти матрицу, обратную данной:
\(A = \begin{bmatrix} -3 & -8 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\)

1. Вычисляем определитель матрицы A:
   \(det(A) = (-3 \cdot 6) - (-8 \cdot 2) = -18 + 16 = -2\)

2. Находим матрицу, составленную из алгебраических дополнений:
   \(C = \begin{bmatrix} 6 & -2 \\ 8 & -3 \end{bmatrix}\)

3. Транспонируем матрицу C:
   \(C^T = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}\)

4. Вычисляем обратную матрицу:
   \(A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot C^T = \frac{1}{-2} \cdot \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 1.5 \end{bmatrix}\)

Ответ:
\(A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 1.5 \end{bmatrix}\)