Вычисление неопределенных интегралов

Задание 91-100a: Вычислить неопределенный интеграл \(\int \frac{\arcsin{x}+1}{\sqrt{1-x^2}} dx\)

Решение:

1. Замена переменной:
   Пусть \(t = \arcsin{x}\), тогда \(dt = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx\).

2. Преобразование интеграла:
   Интеграл преобразуется в \(\int (t+1) dt\).

3. Вычисление интеграла:
   \(\int (t+1) dt = \int t dt + \int 1 dt = \frac{t^2}{2} + t + C\), где \(C\) - константа интегрирования.

4. Возврат к исходной переменной:
   Заменяем \(t\) на \(\arcsin{x}\), получаем \(\frac{(\arcsin{x})^2}{2} + \arcsin{x} + C\).

Ответ: \(\frac{(\arcsin{x})^2}{2} + \arcsin{x} + C\)

Задание 91-100b: Вычислить неопределенный интеграл \(\int \cos^2{x} \sin^4{x} dx\)

Решение:

1. Преобразование подынтегральной функции:
   Используем тригонометрические тождества:
   \(\cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2}\) и \(\sin^2{x} = \frac{1 - \cos{2x}}{2}\).
   Тогда \(\sin^4{x} = (\sin^2{x})^2 = (\frac{1 - \cos{2x}}{2})^2 = \frac{1 - 2\cos{2x} + \cos^2{2x}}{4}\).
   \(\cos^2{x} \sin^4{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2} \cdot \frac{1 - 2\cos{2x} + \cos^2{2x}}{4} = \frac{1 - 2\cos{2x} + \cos^2{2x} + \cos{2x} - 2\cos^2{2x} + \cos^3{2x}}{8} = \frac{1 - \cos{2x} - \cos^2{2x} + \cos^3{2x}}{8}\).

2. Дальнейшее преобразование:
   Используем \(\cos^2{2x} = \frac{1 + \cos{4x}}{2}\) и \(\cos^3{2x} = \cos{2x}(1 - \sin^2{2x})\).
   \(\frac{1 - \cos{2x} - \frac{1 + \cos{4x}}{2} + \cos{2x}(1 - \sin^2{2x})}{8} = \frac{1 - \cos{2x} - \frac{1}{2} - \frac{\cos{4x}}{2} + \cos{2x} - \cos{2x}\sin^2{2x}}{8} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{\cos{4x}}{2} - \cos{2x}\sin^2{2x}}{8} = \frac{1}{16} - \frac{\cos{4x}}{16} - \frac{\cos{2x}\sin^2{2x}}{8}\).

3. Вычисление интеграла:
   \(\int \cos^2{x} \sin^4{x} dx = \int (\frac{1}{16} - \frac{\cos{4x}}{16} - \frac{\cos{2x}\sin^2{2x}}{8}) dx = \frac{1}{16} \int dx - \frac{1}{16} \int \cos{4x} dx - \frac{1}{8} \int \cos{2x}\sin^2{2x} dx\).
   \(\int dx = x + C_1\).
   \(\int \cos{4x} dx = \frac{1}{4} \sin{4x} + C_2\).
   Для \(\int \cos{2x}\sin^2{2x} dx\) сделаем замену \(u = \sin{2x}\), \(du = 2\cos{2x} dx\), тогда \(\frac{1}{2} \int u^2 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^3}{3} + C_3 = \frac{\sin^3{2x}}{6} + C_3\).
   Итого: \(\frac{1}{16}x - \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} \sin{4x} - \frac{1}{8} \cdot \frac{\sin^3{2x}}{6} + C = \frac{x}{16} - \frac{\sin{4x}}{64} - \frac{\sin^3{2x}}{48} + C\).

Ответ: \(\frac{x}{16} - \frac{\sin{4x}}{64} - \frac{\sin^3{2x}}{48} + C\)

Задание 91-100a: Вычислить неопределенный интеграл \(\int \frac{\arcsin{x}+1}{\sqrt{1-x^2}} dx\)

Решение:

Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной, который позволяет упростить интеграл, сведя его к более простому виду.

1. Анализ интеграла:
   Обратим внимание на знаменатель \(\sqrt{1-x^2}\). Это выражение связано с производной функции \(\arcsin{x}\), так как \(\frac{d}{dx}(\arcsin{x}) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).

2. Замена переменной:
   Введем новую переменную \(t = \arcsin{x}\). Тогда:
   - \(x = \sin{t}\) (выражаем исходную переменную)
   - \(dx = \cos{t}\,dt\) (дифференцируем обе части)
   - \(\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2{t}} = \sqrt{\cos^2{t}} = |\cos{t}| = \cos{t}\) (так как в области определения \(\arcsin{x}\) косинус положителен)

3. Преобразование интеграла:
   Подставляем новую переменную в исходный интеграл:
   \(\int \frac{\arcsin{x}+1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{t+1}{\cos{t}} \cos{t}\,dt = \int (t+1)\,dt\)

4. Вычисление полученного интеграла:
   \(\int (t+1)\,dt = \int t\,dt + \int 1\,dt = \frac{t^2}{2} + t + C\)

Здесь мы использовали правила:
- \(\int (f(x) + g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx\) (линейность интеграла)
- \(\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) при \(n \neq -1\) (в нашем случае \(n = 1\))
- \(\int 1\,dx = x + C\) (интегрирование константы)

5. Возврат к исходной переменной:
   Заменяем \(t\) обратно на \(\arcsin{x}\):
   \(\frac{t^2}{2} + t + C = \frac{(\arcsin{x})^2}{2} + \arcsin{x} + C\)

Проверка решения:

Дифференцируя полученный ответ, мы должны получить исходное подынтегральное выражение:

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{(\arcsin{x})^2}{2} + \arcsin{x} + C\right) = \arcsin{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\arcsin{x} + 1}{\sqrt{1-x^2}}\)

Что совпадает с исходным выражением, подтверждая правильность нашего решения.

Ответ: \(\int \frac{\arcsin{x}+1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{(\arcsin{x})^2}{2} + \arcsin{x} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.