Привет! Сейчас помогу решить эти задания.

Задание 1

Вычислить $f(x) = x^2 - 6x + 1$, где $x = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \ 4 & 0 & -3 \ 5 & 5 & 1 \end{pmatrix}$.

1. Вычислим $x^2$:

$x^2 = x \cdot x = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \ 4 & 0 & -3 \ 5 & 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \ 4 & 0 & -3 \ 5 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -2 & -6 \ -19 & -7 & -3 \ 20 & 15 & -14 \end{pmatrix}$

2. Вычислим $6x$:

$6x = 6 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \ 4 & 0 & -3 \ 5 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 12 & 0 \ 24 & 0 & -18 \ 30 & 30 & 6 \end{pmatrix}$

3. Вычислим $f(x) = x^2 - 6x + 1$:

$f(x) = \begin{pmatrix} 9 & -2 & -6 \ -19 & -7 & -3 \ 20 & 15 & -14 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -6 & 12 & 0 \ 24 & 0 & -18 \ 30 & 30 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & -14 & -6 \ -43 & -6 & 15 \ -10 & -15 & -19 \end{pmatrix}$

Ответ: $f(x) = \begin{pmatrix} 16 & -14 & -6 \ -43 & -6 & 15 \ -10 & -15 & -19 \end{pmatrix}$

Задание 2

Решить матричное уравнение: $X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \ 3 & 12 \end{pmatrix}$.

1. Найдем обратную матрицу для $\begin{pmatrix} 5 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix}$:

Определитель матрицы: $\Delta = (5 \cdot 4) - (2 \cdot 1) = 20 - 2 = 18$

Обратная матрица: $\begin{pmatrix} 5 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -1 & 5 \end{pmatrix}$

2. Умножим обе части уравнения на обратную матрицу справа:

$X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \ 3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1}$

$X = \begin{pmatrix} 7 & 10 \ 3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -1 & 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 7 & 10 \ 3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -1 & 5 \end{pmatrix}$

3. Выполним умножение матриц:

$X = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} (7 \cdot 4) + (10 \cdot -1) & (7 \cdot -2) + (10 \cdot 5) \ (3 \cdot 4) + (12 \cdot -1) & (3 \cdot -2) + (12 \cdot 5) \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 28 - 10 & -14 + 50 \ 12 - 12 & -6 + 60 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 18 & 36 \ 0 & 54 \end{pmatrix}$

4. Упростим матрицу:

$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$

Ответ: $X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$

Задание 2

Решить матричное уравнение: $X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \ 3 & 12 \end{pmatrix}$.

1. Найдем обратную матрицу для $\begin{pmatrix} 5 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix}$:

Определитель матрицы: $\Delta = (5 \cdot 4) - (2 \cdot 1) = 20 - 2 = 18$

Обратная матрица: $\begin{pmatrix} 5 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -1 & 5 \end{pmatrix}$

2. Умножим обе части уравнения на обратную матрицу справа:

$X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \ 3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1}$

$X = \begin{pmatrix} 7 & 10 \ 3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -1 & 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 7 & 10 \ 3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -1 & 5 \end{pmatrix}$

3. Выполним умножение матриц:

$X = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} (7 \cdot 4) + (10 \cdot -1) & (7 \cdot -2) + (10 \cdot 5) \ (3 \cdot 4) + (12 \cdot -1) & (3 \cdot -2) + (12 \cdot 5) \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 28 - 10 & -14 + 50 \ 12 - 12 & -6 + 60 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 18 & 36 \ 0 & 54 \end{pmatrix}$

4. Упростим матрицу:

$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$

Ответ: $X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$

Задание 3

Значение $x$, при котором матрица $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \ x & 5 & -3 \ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ вырождена, равно?

Матрица вырождена, если её определитель равен нулю.

1. Вычислим определитель матрицы A:

$\det(A) = -1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & -3 \ -2 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} x & -3 \ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} x & 5 \ 1 & -2 \end{vmatrix}$

$\det(A) = -1 \cdot (5 \cdot 1 - (-3) \cdot (-2)) - 2 \cdot (x \cdot 1 - (-3) \cdot 1) + 0$

$\det(A) = -1 \cdot (5 - 6) - 2 \cdot (x + 3)$

$\det(A) = -1 \cdot (-1) - 2x - 6$

$\det(A) = 1 - 2x - 6 = -2x - 5$

2. Приравняем определитель к нулю:

$-2x - 5 = 0$

$-2x = 5$

$x = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $x = -2.5$