Решение задач с матрицами: вычисление функций, матричные уравнения, определители

Привет! Сейчас помогу решить эти задания.

Задание 1

Вычислить \(f(x) = x^2 - 6x + 1\), где \(x = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & -3 \\ 5 & 5 & 1 \end{pmatrix}\).

1. Вычислим \(x^2\):

\(x^2 = x \cdot x = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & -3 \\ 5 & 5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & -3 \\ 5 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -2 & -6 \\ -19 & -7 & -3 \\ 20 & 15 & -14 \end{pmatrix}\)

2. Вычислим \(6x\):

\(6x = 6 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & -3 \\ 5 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 12 & 0 \\ 24 & 0 & -18 \\ 30 & 30 & 6 \end{pmatrix}\)

3. Вычислим \(f(x) = x^2 - 6x + 1\):

\(f(x) = \begin{pmatrix} 9 & -2 & -6 \\ -19 & -7 & -3 \\ 20 & 15 & -14 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -6 & 12 & 0 \\ 24 & 0 & -18 \\ 30 & 30 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & -14 & -6 \\ -43 & -6 & 15 \\ -10 & -15 & -19 \end{pmatrix}\)

Ответ: \(f(x) = \begin{pmatrix} 16 & -14 & -6 \\ -43 & -6 & 15 \\ -10 & -15 & -19 \end{pmatrix}\)

Задание 2

Решить матричное уравнение: \(X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}\).

1. Найдем обратную матрицу для \(\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\):

Определитель матрицы: \(\Delta = (5 \cdot 4) - (2 \cdot 1) = 20 - 2 = 18\)

Обратная матрица: \(\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}\)

2. Умножим обе части уравнения на обратную матрицу справа:

\(X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1}\)

\(X = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}\)

3. Выполним умножение матриц:

\(X = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} (7 \cdot 4) + (10 \cdot -1) & (7 \cdot -2) + (10 \cdot 5) \\ (3 \cdot 4) + (12 \cdot -1) & (3 \cdot -2) + (12 \cdot 5) \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 28 - 10 & -14 + 50 \\ 12 - 12 & -6 + 60 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 18 & 36 \\ 0 & 54 \end{pmatrix}\)

4. Упростим матрицу:

\(X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)

Ответ: \(X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)

Задание 2

Решить матричное уравнение: \(X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}\).

1. Найдем обратную матрицу для \(\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\):

Определитель матрицы: \(\Delta = (5 \cdot 4) - (2 \cdot 1) = 20 - 2 = 18\)

Обратная матрица: \(\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}\)

2. Умножим обе части уравнения на обратную матрицу справа:

\(X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1}\)

\(X = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 3 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}\)

3. Выполним умножение матриц:

\(X = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} (7 \cdot 4) + (10 \cdot -1) & (7 \cdot -2) + (10 \cdot 5) \\ (3 \cdot 4) + (12 \cdot -1) & (3 \cdot -2) + (12 \cdot 5) \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 28 - 10 & -14 + 50 \\ 12 - 12 & -6 + 60 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 18 & 36 \\ 0 & 54 \end{pmatrix}\)

4. Упростим матрицу:

\(X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)

Ответ: \(X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)

Задание 3

Значение \(x\), при котором матрица \(A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ x & 5 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}\) вырождена, равно?

Матрица вырождена, если её определитель равен нулю.

1. Вычислим определитель матрицы A:

\(\det(A) = -1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & -3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} x & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} x & 5 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}\)

\(\det(A) = -1 \cdot (5 \cdot 1 - (-3) \cdot (-2)) - 2 \cdot (x \cdot 1 - (-3) \cdot 1) + 0\)

\(\det(A) = -1 \cdot (5 - 6) - 2 \cdot (x + 3)\)

\(\det(A) = -1 \cdot (-1) - 2x - 6\)

\(\det(A) = 1 - 2x - 6 = -2x - 5\)

2. Приравняем определитель к нулю:

\(-2x - 5 = 0\)

\(-2x = 5\)

\(x = -\frac{5}{2} = -2.5\)

Ответ: \(x = -2.5\)