Решение примеров на нахождение производной функции

Конечно, вот решение заданий 12, 13 и 14:

Задание 12

Найти производную функции \(y = \frac{8x^3}{2x - 9}\).

Используем правило дифференцирования частного:
\((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), где \(u = 8x^3\) и \(v = 2x - 9\).

1. Находим производные \(u'\) и \(v'\):

   • \(u' = (8x^3)' = 8 \cdot 3x^2 = 24x^2\)
   • \(v' = (2x - 9)' = 2\)

2. Применяем формулу производной частного:
   \(y' = \frac{24x^2(2x - 9) - 8x^3 \cdot 2}{(2x - 9)^2} = \frac{48x^3 - 216x^2 - 16x^3}{(2x - 9)^2} = \frac{32x^3 - 216x^2}{(2x - 9)^2}\)

3. Упрощаем выражение:
   \(y' = \frac{8x^2(4x - 27)}{(2x - 9)^2}\)

Ответ: \(y' = \frac{8x^2(4x - 27)}{(2x - 9)^2}\)

Задание 13

Найти производную функции \(y = \frac{4\sqrt{x}}{x^3 + 5}\).

Используем правило дифференцирования частного:
\((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), где \(u = 4\sqrt{x}\) и \(v = x^3 + 5\).

1. Находим производные \(u'\) и \(v'\):

   • \(u' = (4\sqrt{x})' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}}\)
   • \(v' = (x^3 + 5)' = 3x^2\)

2. Применяем формулу производной частного:
   \(y' = \frac{\frac{2}{\sqrt{x}}(x^3 + 5) - 4\sqrt{x} \cdot 3x^2}{(x^3 + 5)^2} = \frac{\frac{2(x^3 + 5)}{\sqrt{x}} - 12x^{2}\sqrt{x}}{(x^3 + 5)^2}\)

3. Упрощаем выражение:
   \(y' = \frac{2(x^3 + 5) - 12x^3}{\sqrt{x}(x^3 + 5)^2} = \frac{2x^3 + 10 - 12x^3}{\sqrt{x}(x^3 + 5)^2} = \frac{-10x^3 + 10}{\sqrt{x}(x^3 + 5)^2} = \frac{10(1 - x^3)}{\sqrt{x}(x^3 + 5)^2}\)

Ответ: \(y' = \frac{10(1 - x^3)}{\sqrt{x}(x^3 + 5)^2}\)

Задание 14

Найти производную функции \(y = \frac{\sin x}{4x^3}\).

Используем правило дифференцирования частного:
\((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), где \(u = \sin x\) и \(v = 4x^3\).

1. Находим производные \(u'\) и \(v'\):

   • \(u' = (\sin x)' = \cos x\)
   • \(v' = (4x^3)' = 12x^2\)

2. Применяем формулу производной частного:
   \(y' = \frac{\cos x \cdot 4x^3 - \sin x \cdot 12x^2}{(4x^3)^2} = \frac{4x^3 \cos x - 12x^2 \sin x}{16x^6}\)

3. Упрощаем выражение:
   \(y' = \frac{4x^2(x \cos x - 3 \sin x)}{16x^6} = \frac{x \cos x - 3 \sin x}{4x^4}\)

Ответ: \(y' = \frac{x \cos x - 3 \sin x}{4x^4}\)