Разложение многочленов на множители: формулы сокращенного умножения
Задание 1
Анализ задания
Задание представляет собой выражение \(a^2 - 9\). Необходимо упростить или разложить на множители данное выражение.
Решение
Выражение \(a^2 - 9\) является разностью квадратов. Формула разности квадратов:
$\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)$
В данном случае, \(a\) остается \(a\), а \(9\) можно представить как \(3^2\). Тогда \(b = 3\).
Применяя формулу разности квадратов, получаем:
$\(a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)\)$
Окончательный ответ
\((a - 3)(a + 3)\)
Задание 2
Анализ задания
Задание представляет собой выражение \(a^2 + 10a + 25\). Необходимо упростить или разложить на множители данное выражение.
Решение
Выражение \(a^2 + 10a + 25\) является полным квадратным трехчленом. Оно может быть разложено по формуле квадрата суммы:
$\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)$
Сравним наше выражение с формулой:
* \(a^2\) совпадает с первым членом.
* \(25\) совпадает с \(b^2\), значит \(b = 5\).
* Проверим средний член: \(2ab = 2 \cdot a \cdot 5 = 10a\). Это совпадает с средним членом в нашем выражении.
Таким образом, выражение \(a^2 + 10a + 25\) является квадратом суммы \(a + 5\).
Окончательный ответ
\((a + 5)^2\)
Задание 3
Анализ задания
Задание представляет собой выражение \((5x - 2)^2\). Необходимо раскрыть скобки и упростить.
Решение
Выражение \((5x - 2)^2\) представляет собой квадрат разности. Формула квадрата разности:
$\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)$
В данном выражении:
* \(a = 5x\)
* \(b = 2\)
Применяем формулу:
$\((5x - 2)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot 2 + 2^2\)$
Рассчитываем каждый член:
* \((5x)^2 = 5^2 \cdot x^2 = 25x^2\)
* \(2 \cdot (5x) \cdot 2 = 20x\)
* \(2^2 = 4\)
Собираем все вместе:
$\(25x^2 - 20x + 4\)$
Окончательный ответ
\(25x^2 - 20x + 4\)
Задание 4
Анализ задания
Задание представляет собой выражение \((5y + 3x)(2x - 5y)\). Необходимо раскрыть скобки и упростить.
Решение
Для упрощения данного выражения мы будем использовать метод умножения многочленов (каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки).
-
Умножим \(5y\) на каждый член во второй скобке:
- \(5y \cdot 2x = 10xy\)
- \(5y \cdot (-5y) = -25y^2\)
-
Умножим \(3x\) на каждый член во второй скобке:
- \(3x \cdot 2x = 6x^2\)
- \(3x \cdot (-5y) = -15xy\)
-
Сложим полученные результаты:
$\(10xy - 25y^2 + 6x^2 - 15xy\)$ -
Приведем подобные слагаемые. В данном случае, это члены с \(xy\):
$\(6x^2 + (10xy - 15xy) - 25y^2\)$
$\(6x^2 - 5xy - 25y^2\)$
Окончательный ответ
\(6x^2 - 5xy - 25y^2\)
Задание 5
Анализ задания
Задание представляет собой выражение \(x^2 + 6x + 9\). Необходимо упростить или разложить на множители.
Решение
Выражение \(x^2 + 6x + 9\) является полным квадратным трехчленом. Его можно разложить, используя формулу квадрата суммы:
$\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)$
Сравним наше выражение с формулой:
* Первый член \(x^2\) совпадает с \(a^2\), значит \(a = x\).
* Последний член \(9\) совпадает с \(b^2\), значит \(b = 3\) (так как \(3^2 = 9\)).
* Проверим средний член: \(2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x\). Это совпадает со средним членом в нашем выражении.
Следовательно, выражение \(x^2 + 6x + 9\) является квадратом суммы \(x + 3\).
Окончательный ответ
\((x + 3)^2\)
Задание 6
Анализ задания
Задание представляет собой выражение \(64y^4 - x^2y^2\). Необходимо разложить на множители.
Решение
Данное выражение представляет собой разность квадратов, так как оба члена являются квадратами:
* \(64y^4 = (8y^2)^2\)
* \(x^2y^2 = (xy)^2\)
Формула разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
В нашем случае:
* \(a = 8y^2\)
* \(b = xy\)
Применяем формулу:
$\(64y^4 - x^2y^2 = (8y^2)^2 - (xy)^2 = (8y^2 - xy)(8y^2 + xy)\)$
Полученные множители \((8y^2 - xy)\) и \((8y^2 + xy)\) можно дополнительно разложить, вынеся общий множитель \(y\):
* \(8y^2 - xy = y(8y - x)\)
* \(8y^2 + xy = y(8y + x)\)
Подставляем это обратно в выражение:
$\((y(8y - x))(y(8y + x))\)$
$\(y \cdot y \cdot (8y - x)(8y + x)\)$
$\(y^2 (8y - x)(8y + x)\)$
Окончательный ответ
\(y^2 (8y - x)(8y + x)\)
Задание 7
Анализ задания
Задание представляет собой выражение \((a^3 + 1)^2\). Необходимо раскрыть скобки и упростить.
Решение
Выражение \((a^3 + 1)^2\) является квадратом суммы. Используем формулу квадрата суммы:
$\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)$
В данном выражении:
* Первый член \(a^3\) играет роль \(a\) в формуле.
* Второй член \(1\) играет роль \(b\) в формуле.
Применяем формулу:
$\((a^3 + 1)^2 = (a^3)^2 + 2 \cdot (a^3) \cdot 1 + 1^2\)$
Теперь упростим каждый член:
* \((a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6\) (при возведении степени в степень, показатели перемножаются).
* \(2 \cdot (a^3) \cdot 1 = 2a^3\)
* \(1^2 = 1\)
Собираем все вместе:
$\(a^6 + 2a^3 + 1\)$
Окончательный ответ
\(a^6 + 2a^3 + 1\)
Задание 8
Анализ задания
Задание представляет собой выражение \(25 - y^4\). Необходимо разложить на множители.
Решение
Данное выражение является разностью квадратов.
* \(25\) можно представить как \(5^2\).
* \(y^4\) можно представить как \((y^2)^2\).
Таким образом, выражение имеет вид \(5^2 - (y^2)^2\).
Применяем формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
В нашем случае:
* \(a = 5\)
* \(b = y^2\)
Применяем формулу:
$\(25 - y^4 = 5^2 - (y^2)^2 = (5 - y^2)(5 + y^2)\)$
Множитель \((5 - y^2)\) сам по себе является разностью квадратов, так как \(5\) можно представить как \((\sqrt{5})^2\). Однако, в контексте стандартных школьных заданий, если не указано иное, обычно предполагается разложение на множители с целыми или рациональными коэффициентами. В данном случае, \((5 - y^2)\) не раскладывается дальше на множители с целыми коэффициентами. Но если бы было \(25 - y^2\), то можно было бы разложить: \((5-y)(5+y)\).
Если же мы хотим разложить \(5 - y^2\) дальше, то:
\(5 - y^2 = (\sqrt{5})^2 - y^2 = (\sqrt{5} - y)(\sqrt{5} + y)\)
Тогда все выражение было бы: \((\sqrt{5} - y)(\sqrt{5} + y)(5 + y^2)\).
Однако, чаще всего, если в задаче не указано иное, достаточно разложения на \((5 - y^2)(5 + y^2)\).
Окончательный ответ
\((5 - y^2)(5 + y^2)\)
К сожалению, я не вижу заданий с 9 по 12 в предоставленном изображении. Вы можете, пожалуйста, предоставить их, чтобы я мог продолжить решение?
К сожалению, в предоставленном изображении есть только 8 заданий. Если у вас есть задания с 9 по 12, пожалуйста, предоставьте их, чтобы я мог вам помочь.
