Расчет тока в электрической цепи методом наложения

Задание 1

В данном задании требуется рассчитать ток ветви, отмеченной звездочкой, в электрической цепи при гармоническом воздействии, используя метод наложения.

Дано:
* Частота воздействия: \(\omega = 10^5 \text{ с}^{-1}\)
* Напряжение источника ЭДС: \(\dot{E} = 22 \text{ В}\)
* Ток источника тока: \(\dot{J} = 19 \text{ мА} = 19 \times 10^{-3} \text{ А}\)
* Сопротивление резистора \(R_1\): \(R_1 = 1.5 \text{ кОм} = 1.5 \times 10^3 \text{ Ом}\)
* Сопротивление резистора \(R_2\): \(R_2 = \frac{20}{9} \text{ кОм} \approx 2.22 \times 10^3 \text{ Ом}\)
* Сопротивление резистора \(R_3\): \(R_3 = \frac{11}{18} \text{ кОм} \approx 0.611 \times 10^3 \text{ Ом}\)
* Сопротивление резистора \(R_4\): \(R_4 = \frac{15}{16} \text{ кОм} \approx 0.94 \times 10^3 \text{ Ом}\)
* Индуктивность катушки \(L\): \(L = 0.5 \text{ мГн} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ Гн}\)
* Емкость конденсатора \(C\): \(C = \frac{40}{11} \text{ пФ} = \frac{40}{11} \times 10^{-12} \text{ Ф}\)

Требуется найти: Ток ветви, отмеченной звездочкой (ток через \(R_3\) и \(C\)).

Метод решения: Метод наложения.

Шаг 1: Расчет комплексных сопротивлений

Для начала рассчитаем комплексные сопротивления индуктивности и емкости при заданной частоте.

• Индуктивное сопротивление:
  \(X_L = \omega L = (10^5 \text{ с}^{-1}) \times (0.5 \times 10^{-3} \text{ Гн}) = 50 \text{ Ом}\)
  Комплексное сопротивление индуктивности:
  \(\dot{Z}_L = jX_L = j50 \text{ Ом}\)

• Емкостное сопротивление:
  \(X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(10^5 \text{ с}^{-1}) \times (\frac{40}{11} \times 10^{-12} \text{ Ф})} = \frac{11 \times 10^7}{40} \text{ Ом} = 2.75 \times 10^5 \text{ Ом} = 275 \text{ кОм}\)
  Комплексное сопротивление емкости:
  \(\dot{Z}_C = -jX_C = -j275 \times 10^3 \text{ Ом}\)

• Сопротивление ветви со звездочкой (для расчета тока):
  Ветвь со звездочкой состоит из резистора \(R_3\) и конденсатора \(C\). Так как они соединены последовательно, их комплексные сопротивления складываются:
  \(\dot{Z}_{зв} = R_3 + \dot{Z}_C = \frac{11}{18} \times 10^3 \text{ Ом} - j275 \times 10^3 \text{ Ом}\)
  \(\dot{Z}_{зв} \approx (0.611 \times 10^3 - j275 \times 10^3) \text{ Ом}\)

Шаг 2: Применение метода наложения

Метод наложения гласит, что ток в любой ветви цепи, содержащей линейные элементы и несколько источников, равен сумме токов, создаваемых каждым источником в отдельности, при условии, что остальные источники отключены.

2.1. Действие источника ЭДС \(\dot{E}\) (при отключенном \(\dot{J}\))

При отключении источника тока \(\dot{J}\) его сопротивление становится бесконечным, то есть он разрывает цепь. Источник ЭДС \(\dot{E}\) является идеальным, поэтому при его отключении мы заменяем его короткое замыкание (нулевое сопротивление).

Схема при действии только \(\dot{E}\):
* Источник \(\dot{E}\) подключен между верхними узлами.
* Резистор \(R_1\) находится в верхней ветви.
* Ветвь с \(R_2\) и \(L\) подключена слева.
* Ветвь со звездочкой (\(R_3\) и \(C\)) и ветвь с \(R_4\) подключены справа.
* Считаем, что источник \(\dot{J}\) отключен (разрыв цепи).

Рассмотрим узлы. Верхний левый узел соединен с верхним правым узлом через источник \(\dot{E}\).
Резистор \(R_1\) соединен последовательно с параллельным соединением ветвей, содержащих:
1. \(R_2\) и \(L\) (последовательно)
2. \(R_3 + \dot{Z}_C\) (ветвь со звездочкой)
3. \(R_4\)

Однако, глядя на схему, более корректно рассмотреть узловые напряжения. Обозначим верхний узел слева как узел A, верхний узел справа как узел B. Нижний узел обозначим как узел C (общий).

При действии только \(\dot{E}\), верхняя перемычка между A и B имеет напряжение \(\dot{E}\).
* Ветвь \(R_2\) и \(L\) подключена между узлом A и узлом C.
* Ветвь \(R_3 + \dot{Z}_C\) подключена между узлом B и узлом C.
* Ветвь \(R_4\) подключена между узлом B и узлом C.

Это означает, что ветвь \(R_2+L\) параллельна ветвям \(R_3+\dot{Z}_C\) и \(R_4\).
Однако, источник \(\dot{E}\) подключен между точками, которые затем разветвляются.
Сначала найдем эквивалентное сопротивление параллельного соединения ветвей \(R_3 + \dot{Z}_C\) и \(R_4\) относительно узла B и C:
\(\dot{Z}_{BC\_пар} = \frac{(R_3 + \dot{Z}_C) \times R_4}{(R_3 + \dot{Z}_C) + R_4}\)

Затем эквивалентное сопротивление всей правой части цепи, подключенной к узлу B:
\(\dot{Z}_{BC} = \frac{1}{\frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_3 + \dot{Z}_C}}\)

Это несколько усложняет, давайте переосмыслим схему.

Схема при действии только \(\dot{E}\):
Источник \(\dot{E}\) подключает верхние два узла. Пусть эти узлы будут \(U_1\) (слева) и \(U_2\) (справа). Нижний узел - \(U_3\) (общий).
\(\dot{E}\) соединяет \(U_1\) и \(U_2\).
\(R_1\) подключен между \(U_1\) и \(U_2\).
\(R_2\) и \(L\) последовательно подключены между \(U_1\) и \(U_3\).
\(R_3 + \dot{Z}_C\) последовательно подключены между \(U_2\) и \(U_3\).
\(R_4\) подключен между \(U_2\) и \(U_3\).

Это значит, что \(R_1\) параллелен всему остальному.
Эквивалентное сопротивление ветви \(R_2\) и \(L\): \(\dot{Z}_{R2L} = R_2 + j\omega L = \frac{20}{9} \times 10^3 + j50 \text{ Ом}\)
Эквивалентное сопротивление ветви \(R_3\) и \(C\): \(\dot{Z}_{R3C} = R_3 - jX_C = \frac{11}{18} \times 10^3 - j275 \times 10^3 \text{ Ом}\)

Ветвь \(R_2+L\) подключена между \(U_1\) и \(U_3\).
Ветвь \(R_3+\dot{Z}_C\) подключена между \(U_2\) и \(U_3\).
Ветвь \(R_4\) подключена между \(U_2\) и \(U_3\).

Рассмотрим узлы \(U_1\) и \(U_2\). Источник \(\dot{E}\) связывает их. Резистор \(R_1\) также связывает \(U_1\) и \(U_2\).
Следовательно, \(R_1\) параллелен ветвям \(R_2+L\), \(R_3+\dot{Z}_C\) и \(R_4\) относительно точек, откуда они идут к общему узлу \(U_3\).

Это некорректная интерпретация. Давайте применим правила Кирхгофа.
Обозначим узлы:
* Верхний левый узел - 1
* Верхний правый узел - 2
* Нижний узел - 3

Источник \(\dot{E}\) между узлами 1 и 2.
\(R_1\) между узлами 1 и 2.
\(R_2\) и \(L\) последовательно между узлами 1 и 3.
\(\dot{J}\) и \(L\) последовательно между узлами 1 и 3. (Но \(\dot{J}\) подключен в другом месте)

Перерисуем схему, чтобы понять соединения.
Есть три узла:
* Узел A: левый верхний, соединен с \(R_1\), \(R_2\), \(L\).
* Узел B: правый верхний, соединен с \(R_1\), \(\dot{E}\), \(R_3\), \(R_4\).
* Узел C: нижний, соединен с \(R_2\), \(L\), \(R_3\), \(R_4\).

Источник \(\dot{E}\) соединяет узлы A и B.
\(R_1\) соединяет узлы A и B.
\(R_2\) и \(L\) последовательно соединены между узлом A и узлом C.
Источник \(\dot{J}\) подключен параллельно \(L\).
\(R_3\) и \(C\) последовательно соединены между узлом B и узлом C.
\(R_4\) соединен между узлом B и узлом C.

Действие источника \(\dot{E}\) (источник \(\dot{J}\) отключен - разомкнут):
Источник \(\dot{E}\) создает разность потенциалов между узлами A и B. \(R_1\) также подключен между A и B.
Это означает, что \(R_1\) параллелен всем остальным элементам, подключенным к узлам A и B.
Однако, \(\dot{E}\) и \(R_1\) соединены между A и B.
Схема упрощается: \(\dot{E}\) и \(R_1\) параллельны.

Попробуем другой подход с узловыми напряжениями:
Пусть напряжение узла C будет 0.
Напряжение узла A: \(\dot{U}_A\).
Напряжение узла B: \(\dot{U}_B\).

Источник \(\dot{E}\): \(\dot{U}_A - \dot{U}_B = \dot{E}\) (или \(\dot{U}_B - \dot{U}_A = \dot{E}\) в зависимости от полярности). По стрелке в \(\dot{E}\), положительный полюс справа, т.е. \(\dot{U}_B - \dot{U}_A = \dot{E}\).
\(R_1\) между A и B.
\(R_2+L\) между A и C (\(\dot{U}_A - \dot{U}_C\)).
\(R_3+\dot{Z}_C\) между B и C (\(\dot{U}_B - \dot{U}_C\)).
\(R_4\) между B и C.

При действии только \(\dot{E}\):
\(\dot{U}_B - \dot{U}_A = \dot{E}\).
Уравнение для узла A (с учетом, что \(\dot{J}\) отключен - разомкнут):
\(\frac{\dot{U}_A - \dot{U}_C}{R_2 + j\omega L} + \frac{\dot{U}_A - \dot{U}_B}{R_1} = 0\)
\(\frac{\dot{U}_A}{R_2 + j\omega L} + \frac{\dot{U}_A - \dot{E}}{R_1} = 0\)

Уравнение для узла B:
\(\frac{\dot{U}_B - \dot{U}_C}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{\dot{U}_B - \dot{U}_C}{R_4} + \frac{\dot{U}_B - \dot{U}_A}{R_1} = 0\)
\(\frac{-\dot{U}_C}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{-\dot{U}_C}{R_4} + \frac{\dot{U}_B - \dot{E}}{R_1} = 0\)

Так как \(\dot{U}_C = 0\):
\(\frac{\dot{U}_A}{R_2 + j\omega L} + \frac{\dot{U}_A - \dot{E}}{R_1} = 0\)
\(\dot{U}_A (\frac{1}{R_2 + j\omega L} + \frac{1}{R_1}) = \frac{\dot{E}}{R_1}\)
\(\dot{U}_A = \frac{\dot{E}}{R_1} \frac{1}{\frac{1}{R_2 + j\omega L} + \frac{1}{R_1}} = \frac{\dot{E}}{R_1} \frac{(R_2 + j\omega L)R_1}{R_1 + R_2 + j\omega L} = \frac{\dot{E}(R_2 + j\omega L)}{R_1 + R_2 + j\omega L}\)

Ток через ветвь со звездочкой, создаваемый \(\dot{E}\) (\(\dot{I}_{зв,E}\)):
\(\dot{I}_{зв,E} = \frac{\dot{U}_B}{R_3 + \dot{Z}_C}\)
Найдем \(\dot{U}_B\):
\(\dot{U}_B = \dot{U}_A + \dot{E} = \frac{\dot{E}(R_2 + j\omega L)}{R_1 + R_2 + j\omega L} + \dot{E} = \dot{E} (\frac{R_2 + j\omega L}{R_1 + R_2 + j\omega L} + 1) = \dot{E} \frac{R_2 + j\omega L + R_1 + R_2 + j\omega L}{R_1 + R_2 + j\omega L} = \dot{E} \frac{R_1 + 2R_2 + j2\omega L}{R_1 + R_2 + j\omega L}\)

\(\dot{I}_{зв,E} = \frac{\dot{E} \frac{R_1 + 2R_2 + j2\omega L}{R_1 + R_2 + j\omega L}}{R_3 + \dot{Z}_C} = \frac{\dot{E} (R_1 + 2R_2 + j2\omega L)}{(R_1 + R_2 + j\omega L)(R_3 + \dot{Z}_C)}\)

Подставим значения:
\(R_1 = 1.5 \times 10^3\)
\(R_2 = 20/9 \times 10^3 \approx 2.22 \times 10^3\)
\(\omega L = 50\)
\(R_3 = 11/18 \times 10^3 \approx 0.611 \times 10^3\)
\(X_C = 275 \times 10^3\)
\(\dot{E} = 22\)

\(R_1 + R_2 + j\omega L = (1.5 + 20/9) \times 10^3 + j50 = (1.5 + 2.22) \times 10^3 + j50 = 3.72 \times 10^3 + j50\)
\(R_3 + \dot{Z}_C = 0.611 \times 10^3 - j275 \times 10^3\)
\(R_1 + 2R_2 + j2\omega L = (1.5 + 2 \times 20/9) \times 10^3 + j(2 \times 50) = (1.5 + 4.44) \times 10^3 + j100 = 5.94 \times 10^3 + j100\)

\(\dot{I}_{зв,E} = \frac{22 (5.94 \times 10^3 + j100)}{(3.72 \times 10^3 + j50)(0.611 \times 10^3 - j275 \times 10^3)}\)

Вычислим знаменатель:
\((3.72 \times 10^3 + j50)(0.611 \times 10^3 - j275 \times 10^3) = (3.72 \times 0.611 - 3.72 \times 275 \times 10^3 + j50 \times 0.611 \times 10^3 - j50 \times 275 \times 10^3) \times 10^3\)
\(= (2.273 + j30.55 - j13750) \times 10^3 = (2.273 - j13719) \times 10^3\)
\(= 2.273 \times 10^6 - j13.719 \times 10^6\)

\(\dot{I}_{зв,E} = \frac{22 (5.94 \times 10^3 + j100)}{2.273 \times 10^6 - j13.719 \times 10^6} = \frac{130.68 \times 10^3 + j2200}{2.273 \times 10^6 - j13.719 \times 10^6}\)
\(\dot{I}_{зв,E} \approx \frac{130.68 \times 10^3}{2.273 \times 10^6} \approx 0.0575 \text{ А} = 57.5 \text{ мА}\) (пренебрегая мнимой частью в числителе и знаменателе, так как она намного меньше действительной).
Более точный расчет:
Числитель: \(22 \times (5.94 \times 10^3 + j100) = 130680 + j2200\)
Знаменатель: \((3720 + j50)(611 - j275000) = 3720 \times 611 - 3720 \times j275000 + j50 \times 611 + 50 \times 275000\)
\(= 2272920 - j1023000000 + j30550 + 13750000\)
\(= (2272920 + 13750000) + j(-1023000000 + 30550)\)
\(= 16022920 - j1022969450\)

\(\dot{I}_{зв,E} = \frac{130680 + j2200}{16022920 - j1022969450} \approx \frac{130680}{ - j1022969450} \approx \frac{130680}{1022969450} j \approx 0.0001277 j \text{ А} = 0.1277 j \text{ мА}\)
Это очень маленький ток, что кажется странным. Давайте перепроверим схему и расчет.

Возможно, моя интерпретация схемы неверна.
Смотрим на схему внимательнее:
\(R_1\) соединен между верхним левым узлом и верхним правым узлом.
Источник \(\dot{E}\) соединен между тем же верхним левым и верхним правым узлом.
Это значит, что \(R_1\) и \(\dot{E}\) параллельны.

Источник \(\dot{J}\) подключен между нижним и верхним левым узлом, параллельно \(L\).
\(R_2\) подключен между верхним левым узлом и нижним узлом.
\(R_3\) и \(C\) последовательно соединены между верхним правым узлом и нижним узлом.
\(R_4\) подключен между верхним правым узлом и нижним узлом.

Давайте применим метод узловых напряжений снова, с этой интерпретацией.
Пусть нижний узел будет опорным (потенциал 0).
Обозначим верхний левый узел как \(U_1\).
Обозначим верхний правый узел как \(U_2\).

Между \(U_1\) и \(U_2\) подключены \(R_1\) и \(\dot{E}\). По схеме, \(\dot{E}\) подключает \(U_1\) к \(U_2\). Полярность: плюс справа. Значит, \(U_2 - U_1 = \dot{E}\).

Узел \(U_1\):
Ток через \(R_2\): \(\frac{U_1 - 0}{R_2} = \frac{U_1}{R_2}\)
Ток через ветвь \(\dot{J}\) и \(L\): Пусть ток через \(L\) будет \(\dot{I}_L\). Тогда ток из узла \(U_1\) через \(\dot{J}\) и \(L\) равен \(\dot{I}_L\).
Ток через \(R_1\): \(\frac{U_1 - U_2}{R_1}\)
Сумма токов из узла \(U_1\): \(\frac{U_1}{R_2} + \dot{I}_L + \frac{U_1 - U_2}{R_1} = 0\)

Узел \(U_2\):
Ток через \(R_3\) и \(C\): \(\frac{U_2 - 0}{R_3 + \dot{Z}_C} = \frac{U_2}{R_3 + \dot{Z}_C}\)
Ток через \(R_4\): \(\frac{U_2 - 0}{R_4} = \frac{U_2}{R_4}\)
Ток через \(R_1\): \(\frac{U_2 - U_1}{R_1}\)
Сумма токов из узла \(U_2\): \(\frac{U_2}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{U_2}{R_4} + \frac{U_2 - U_1}{R_1} = 0\)

У нас есть система уравнений:
1. \(\frac{U_1}{R_2} + \dot{I}_L + \frac{U_1 - U_2}{R_1} = 0\)
2. \(\frac{U_2}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{U_2}{R_4} + \frac{U_2 - U_1}{R_1} = 0\)
3. \(U_2 - U_1 = \dot{E}\)

Подставим (3) в (1) и (2).
Из (3): \(U_1 = U_2 - \dot{E}\).
Подставим в (1):
\(\frac{U_2 - \dot{E}}{R_2} + \dot{I}_L + \frac{(U_2 - \dot{E}) - U_2}{R_1} = 0\)
\(\frac{U_2}{R_2} - \frac{\dot{E}}{R_2} + \dot{I}_L - \frac{\dot{E}}{R_1} = 0\)
\(\frac{U_2}{R_2} + \dot{I}_L = \dot{E} (\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_1})\)

Подставим \(U_1 = U_2 - \dot{E}\) в (2):
\(\frac{U_2}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{U_2}{R_4} + \frac{U_2 - (U_2 - \dot{E})}{R_1} = 0\)
\(\frac{U_2}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{U_2}{R_4} + \frac{\dot{E}}{R_1} = 0\)
\(U_2 (\frac{1}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{1}{R_4}) = -\frac{\dot{E}}{R_1}\)
\(U_2 = -\frac{\dot{E}}{R_1} \frac{1}{\frac{1}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{1}{R_4}} = -\frac{\dot{E}}{R_1} \frac{(R_3 + \dot{Z}_C)R_4}{(R_3 + \dot{Z}_C) + R_4}\)

Это напряжение \(U_2\) при действии только источника \(\dot{E}\) (если бы источник \(\dot{J}\) был отключен).
Ток через ветвь со звездочкой, создаваемый \(\dot{E}\) (\(\dot{I}_{зв,E}\)):
\(\dot{I}_{зв,E} = \frac{U_2}{R_3 + \dot{Z}_C} = -\frac{\dot{E}}{R_1} \frac{(R_3 + \dot{Z}_C)R_4}{((R_3 + \dot{Z}_C) + R_4)(R_3 + \dot{Z}_C)} = -\frac{\dot{E} R_4}{R_1 ((R_3 + \dot{Z}_C) + R_4)}\)

Подставим значения:
\(\dot{E} = 22\)
\(R_1 = 1.5 \times 10^3\)
\(R_4 = 0.94 \times 10^3\)
\(R_3 = 0.611 \times 10^3\)
\(\dot{Z}_C = -j275 \times 10^3\)

\(R_3 + \dot{Z}_C = 0.611 \times 10^3 - j275 \times 10^3\)
\((R_3 + \dot{Z}_C) + R_4 = (0.611 \times 10^3 + 0.94 \times 10^3) - j275 \times 10^3 = 1.551 \times 10^3 - j275 \times 10^3\)

\(\dot{I}_{зв,E} = -\frac{22 \times 0.94 \times 10^3}{1.5 \times 10^3 (1.551 \times 10^3 - j275 \times 10^3)} = -\frac{20.68 \times 10^3}{1.5 \times 10^3 (1.551 \times 10^3 - j275 \times 10^3)}\)
\(\dot{I}_{зв,E} = -\frac{20.68}{1.5 (1.551 \times 10^3 - j275 \times 10^3)} = -\frac{13.787}{1.551 \times 10^3 - j275 \times 10^3}\)
\(\dot{I}_{зв,E} = \frac{13.787 \times 10^{-3}}{-1.551 + j275}\)
\(\dot{I}_{зв,E} \approx \frac{13.787 \times 10^{-3}}{275} j \approx 0.05 \times 10^{-3} j = 0.05 j \text{ мА}\)

2.2. Действие источника тока \(\dot{J}\) (при отключенном \(\dot{E}\))

При отключении источника ЭДС \(\dot{E}\) мы заменяем его короткое замыкание.
Схема:
* \(R_1\) подключен между узлами 1 и 2 (теперь это короткое замыкание).
* \(R_2\) между узлом 1 и 3.
* Ветвь \(\dot{J}\) и \(L\) последовательно между узлом 1 и 3.
* \(R_3 + \dot{Z}_C\) между узлом 2 и 3.
* \(R_4\) между узлом 2 и 3.

Так как \(R_1\) закорочен, узлы 1 и 2 имеют одинаковый потенциал. Пусть \(U_1 = U_2\).
Пусть \(U_3 = 0\).
Ток источника \(\dot{J}\) направлен вверх, входит в узел 1.

Уравнение для узла 1 (или 2, так как они эквипотенциальны):
Сумма токов, втекающих в узел 1:
\(\dot{J} + \frac{U_3 - U_1}{R_2} + \frac{U_3 - U_1}{j\omega L} + \frac{U_3 - U_1}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{U_3 - U_1}{R_4} = 0\)
Поскольку \(U_3 = 0\):
\(\dot{J} - U_1 (\frac{1}{R_2} + \frac{1}{j\omega L} + \frac{1}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{1}{R_4}) = 0\)
\(\dot{J} = U_1 (\frac{1}{R_2} + \frac{1}{j\omega L} + \frac{1}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{1}{R_4})\)

\(U_1 = \frac{\dot{J}}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{j\omega L} + \frac{1}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{1}{R_4}}\)

Ток через ветвь со звездочкой, создаваемый \(\dot{J}\) (\(\dot{I}_{зв,J}\)):
\(\dot{I}_{зв,J} = \frac{U_2}{R_3 + \dot{Z}_C} = \frac{U_1}{R_3 + \dot{Z}_C} = \frac{\dot{J}}{R_3 + \dot{Z}_C} (\frac{1}{R_2} + \frac{1}{j\omega L} + \frac{1}{R_3 + \dot{Z}_C} + \frac{1}{R_4})^{-1}\)

\(\frac{1}{R_2} = \frac{1}{2.22 \times 10^3} \approx 0.45 \times 10^{-3}\)
\(\frac{1}{j\omega L} = \frac{1}{j50} = -j0.02\)
\(R_3 + \dot{Z}_C = 0.611 \times 10^3 - j275 \times 10^3\)
\(\frac{1}{R_3 + \dot{Z}_C} = \frac{1}{0.611 \times 10^3 - j275 \times 10^3} = \frac{0.611 \times 10^3 + j275 \times 10^3}{(0.611 \times 10^3)^2 + (275 \times 10^3)^2}\)
\(= \frac{0.611 \times 10^3 + j275 \times 10^3}{0.373 \times 10^6 + 75.625 \times 10^6} \approx \frac{0.611 \times 10^3 + j275 \times 10^3}{76 \times 10^6}\)
\(\approx (0.008 \times 10^{-3} + j3.62 \times 10^{-3})\)

\(\frac{1}{R_4} = \frac{1}{0.94 \times 10^3} \approx 1.06 \times 10^{-3}\)

Сумма обратных сопротивлений:
\(0.45 \times 10^{-3} - j0.02 + 0.008 \times 10^{-3} + j3.62 \times 10^{-3} + 1.06 \times 10^{-3}\)
\(= (0.45 + 0.008 + 1.06) \times 10^{-3} + j(-0.02 + 3.62 \times 10^{-3})\)
$= 1