Представление комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Здравствуйте! Давайте решим эту задачу.

Задание 1: Представление комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Дано комплексное число \(a = \frac{-4}{1 - \sqrt{3}i}\).

1. Алгебраическая форма:

Чтобы привести число к алгебраической форме \(a + bi\), нужно избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю выражение:

\(a = \frac{-4}{1 - \sqrt{3}i} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}i}{1 + \sqrt{3}i} = \frac{-4(1 + \sqrt{3}i)}{(1 - \sqrt{3}i)(1 + \sqrt{3}i)}\)

Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу \((x - y)(x + y) = x^2 - y^2\):

\(a = \frac{-4(1 + \sqrt{3}i)}{1^2 - (\sqrt{3}i)^2} = \frac{-4(1 + \sqrt{3}i)}{1 - 3i^2}\)

Так как \(i^2 = -1\):

\(a = \frac{-4(1 + \sqrt{3}i)}{1 + 3} = \frac{-4(1 + \sqrt{3}i)}{4} = -(1 + \sqrt{3}i) = -1 - \sqrt{3}i\)

Итак, алгебраическая форма числа \(a\):

\(a = -1 - \sqrt{3}i\)

2. Тригонометрическая форма:

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид \(r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\), где \(r\) - модуль числа, а \(\varphi\) - его аргумент.

• Найдём модуль \(r\):

\(r = |a| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\)

• Найдём аргумент \(\varphi\):

\(\cos \varphi = \frac{\text{Re}(a)}{r} = \frac{-1}{2}\)

\(\sin \varphi = \frac{\text{Im}(a)}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}\)

Так как и косинус, и синус отрицательны, угол \(\varphi\) находится в третьей четверти. \(\varphi = \frac{4\pi}{3}\)

Таким образом, тригонометрическая форма числа \(a\):

\(a = 2\left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)\)

3. Показательная форма:

Показательная форма комплексного числа имеет вид \(re^{i\varphi}\), где \(r\) - модуль числа, а \(\varphi\) - его аргумент.

Используя найденные значения \(r\) и \(\varphi\):

\(a = 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\)

Задание 2: Изображение на координатной плоскости

Комплексное число \(a = -1 - \sqrt{3}i\) соответствует точке \((-1, -\sqrt{3})\) на координатной плоскости. Отметьте эту точку.

Ответ:

• Алгебраическая форма: \(a = -1 - \sqrt{3}i\)
• Тригонометрическая форма: \(a = 2\left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)\)
• Показательная форма: \(a = 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\)
• Точка на координатной плоскости: \((-1, -\sqrt{3})\)

Конечно! Вот как выглядит комплексное число \(a = -1 - \sqrt{3}i\) на координатной плоскости:

Комплексное число \(a = -1 - \sqrt{3}i\) соответствует точке с координатами \((-1, -\sqrt{3})\). На координатной плоскости это будет точка, расположенная в третьей четверти.

На графике:
* Ось X представляет действительную часть комплексного числа (Re(a)).
* Ось Y представляет мнимую часть комплексного числа (Im(a)).
* Точка (-1, -√3) отмечена на плоскости.