Здравствуйте! Давайте решим эту задачу.

Задание 1: Представление комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Дано комплексное число $a = \frac{-4}{1 - \sqrt{3}i}$.

1. Алгебраическая форма:

Чтобы привести число к алгебраической форме $a + bi$, нужно избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю выражение:

$a = \frac{-4}{1 - \sqrt{3}i} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}i}{1 + \sqrt{3}i} = \frac{-4(1 + \sqrt{3}i)}{(1 - \sqrt{3}i)(1 + \sqrt{3}i)}$

Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$a = \frac{-4(1 + \sqrt{3}i)}{1^2 - (\sqrt{3}i)^2} = \frac{-4(1 + \sqrt{3}i)}{1 - 3i^2}$

Так как $i^2 = -1$:

$a = \frac{-4(1 + \sqrt{3}i)}{1 + 3} = \frac{-4(1 + \sqrt{3}i)}{4} = -(1 + \sqrt{3}i) = -1 - \sqrt{3}i$

Итак, алгебраическая форма числа $a$:

$a = -1 - \sqrt{3}i$

2. Тригонометрическая форма:

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r$ - модуль числа, а $\varphi$ - его аргумент.

• Найдём модуль $r$:

$r = |a| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

• Найдём аргумент $\varphi$:

$\cos \varphi = \frac{\text{Re}(a)}{r} = \frac{-1}{2}$

$\sin \varphi = \frac{\text{Im}(a)}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

Так как и косинус, и синус отрицательны, угол $\varphi$ находится в третьей четверти. $\varphi = \frac{4\pi}{3}$

Таким образом, тригонометрическая форма числа $a$:

$a = 2\left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)$

3. Показательная форма:

Показательная форма комплексного числа имеет вид $re^{i\varphi}$, где $r$ - модуль числа, а $\varphi$ - его аргумент.

Используя найденные значения $r$ и $\varphi$:

$a = 2e^{i\frac{4\pi}{3}}$

Задание 2: Изображение на координатной плоскости

Комплексное число $a = -1 - \sqrt{3}i$ соответствует точке $(-1, -\sqrt{3})$ на координатной плоскости. Отметьте эту точку.

Ответ:

• Алгебраическая форма: $a = -1 - \sqrt{3}i$
• Тригонометрическая форма: $a = 2\left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)$
• Показательная форма: $a = 2e^{i\frac{4\pi}{3}}$
• Точка на координатной плоскости: $(-1, -\sqrt{3})$

Конечно! Вот как выглядит комплексное число $a = -1 - \sqrt{3}i$ на координатной плоскости:

Комплексное число $a = -1 - \sqrt{3}i$ соответствует точке с координатами $(-1, -\sqrt{3})$. На координатной плоскости это будет точка, расположенная в третьей четверти.

На графике:
* Ось X представляет действительную часть комплексного числа (Re(a)).
* Ось Y представляет мнимую часть комплексного числа (Im(a)).
* Точка (-1, -√3) отмечена на плоскости.