Решение задач по идеальному газу: уравнение Менделеева-Клапейрона, закон Бойля-Мариотта

Задание 1

Для решения задачи используем уравнение Менделеева-Клапейрона:

\(PV = nRT\), где:
* \(P\) - давление (Па)
* \(V\) - объем (м³)
* \(n\) - количество вещества (моль)
* \(R\) - универсальная газовая постоянная (8.314 Дж/(моль·К))
* \(T\) - температура (К)

Преобразуем уравнение, чтобы выразить температуру:

\(T = \frac{PV}{nR}\)

Количество вещества \(n\) можно найти, разделив массу \(m\) на молярную массу \(M\):

\(n = \frac{m}{M}\)

Подставляем известные значения:

• \(m = 1 г = 0.001 кг\)
• \(M = 28 кг/кмоль = 0.028 кг/моль\)
• \(V = 83 л = 0.083 м³\)
• \(P = 1 кПа = 1000 Па\)
• \(R = 8.314 Дж/(моль·К)\)

Сначала найдем количество вещества:

\(n = \frac{0.001 кг}{0.028 кг/моль} \approx 0.0357 моль\)

Теперь найдем температуру:

\(T = \frac{1000 Па * 0.083 м³}{0.0357 моль * 8.314 Дж/(моль·К)} \approx 280.2 K\)

Ответ: Температура азота равна примерно 280.2 K.

Задание 2

Для решения задачи используем уравнение состояния идеального газа:

\(PV = nRT\)

Плотность \(\rho\) определяется как масса \(m\), деленная на объем \(V\):

\(\rho = \frac{m}{V}\)

Также, количество вещества \(n\) можно выразить через массу \(m\) и молярную массу \(M\):

\(n = \frac{m}{M}\)

Подставляем это в уравнение состояния:

\(PV = \frac{m}{M}RT\)

Выражаем плотность \(\rho = \frac{m}{V}\):

\(\rho = \frac{PM}{RT}\)

Подставляем известные значения:

• \(P = 1.66 МПа = 1.66 * 10^6 Па\)
• \(M = 29 кг/кмоль = 0.029 кг/моль\)
• \(R = 8.314 Дж/(моль·К)\)
• \(T = 290 K\)

Вычисляем плотность:

\(\rho = \frac{1.66 * 10^6 Па * 0.029 кг/моль}{8.314 Дж/(моль·К) * 290 K} \approx 20.0 кг/м³\)

Ответ: Плотность воздуха равна примерно 20.0 кг/м³.

Задание 3

Для изотермического процесса выполняется закон Бойля-Мариотта:

\(P_1V_1 = P_2V_2\)

Из условия задачи известно, что объем увеличился в 7 раз, то есть \(V_2 = 7V_1\). Также известно, что конечное давление \(P_2 = 210 Па\). Нужно найти начальное давление \(P_1\).

Подставляем известные значения в закон Бойля-Мариотта:

\(P_1V_1 = 210 Па * 7V_1\)

Делим обе части уравнения на \(V_1\):

\(P_1 = 210 Па * 7\)

\(P_1 = 1470 Па\)

Ответ: Начальное давление газа равно 1470 Па.