Решение теодолитного хода: пошаговое руководство
Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас помогу вам с решением задачи.
Задание 1: Заполнение таблицы теодолитного хода
На изображении представлена таблица для выполнения теодолитного хода №7. Необходимо заполнить пустые ячейки таблицы, используя предоставленные данные и формулы.
Дано:
- Номера станций: 1, 2, 3, 4, 5
- Измеренные углы: 151°, 136°, 92°, 127°, 105°, 107°
- Расстояния: 74.5, 99.3, 97.2, 118.5, 104.5, 64.5
- Координаты начальной точки: X = 150, Y = 250
- \(\Delta l = 1\)
Необходимо вычислить:
- Исправленные углы
- Дирекционные углы
- Румбы
- Вычисленные приращения координат (\(\Delta X\), \(\Delta Y\))
- Исправленные приращения координат (\(\Delta X'\), \(\Delta Y'\))
- Координаты точек
Шаг 1: Вычисление исправленных углов
Сумма измеренных углов в теодолитном ходе должна соответствовать теоретической сумме. Если это не так, необходимо внести поправки.
Теоретическая сумма углов для n-угольника:
\(\Sigma_{теор} = (n - 2) \cdot 180^\circ\)
В нашем случае n = 5, поэтому:
\(\Sigma_{теор} = (5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ\)
Сумма измеренных углов:
\(\Sigma_{изм} = 151^\circ + 136^\circ + 92^\circ + 127^\circ + 105^\circ + 107^\circ = 718^\circ\)
Ошибка в сумме углов:
\(f_\beta = \Sigma_{изм} - \Sigma_{теор} = 718^\circ - 540^\circ = 178^\circ\)
Поправка на один угол:
\(\delta = -\frac{f_\beta}{n} = -\frac{178^\circ}{5} = -35.6^\circ\)
Исправленные углы:
- Станция 1: \(151^\circ - 35.6^\circ = 115.4^\circ\)
- Станция 2: \(136^\circ - 35.6^\circ = 100.4^\circ\)
- Станция 3: \(92^\circ - 35.6^\circ = 56.4^\circ\)
- Станция 4: \(127^\circ - 35.6^\circ = 91.4^\circ\)
- Станция 5: \(105^\circ - 35.6^\circ = 69.4^\circ\)
- Станция \(\Delta l\): \(107^\circ - 35.6^\circ = 71.4^\circ\)
Шаг 2: Вычисление дирекционных углов
Дирекционный угол - это угол между северным направлением и направлением на следующую точку.
- Начальный дирекционный угол (между станциями \(\Delta l\) и 1) дан: \(126^\circ 30'\)
Последующие дирекционные углы вычисляются по формуле:
\(\alpha_{i+1} = \alpha_i + 180^\circ - \beta_i\)
где \(\alpha_i\) - дирекционный угол предыдущего направления, \(\beta_i\) - исправленный угол на станции i.
- Станция 1: \(\alpha_2 = 126^\circ 30' + 180^\circ - 115.4^\circ = 191^\circ 18' - 115.4^\circ = 191.5 - 115.4 = 191.5 - 115.4 = 76.1^\circ\)
- Станция 2: \(\alpha_3 = 76.1^\circ + 180^\circ - 100.4^\circ = 155.7^\circ\)
- Станция 3: \(\alpha_4 = 155.7^\circ + 180^\circ - 56.4^\circ = 279.3^\circ\)
- Станция 4: \(\alpha_5 = 279.3^\circ + 180^\circ - 91.4^\circ = 367.9^\circ - 91.4^\circ = 367.9 - 91.4 = 276.5^\circ\)
- Станция 5: \(\alpha_{\Delta l} = 276.5^\circ + 180^\circ - 69.4^\circ = 387.1^\circ\)
Шаг 3: Вычисление румбов
Румб - это угол между направлением на север или юг и направлением на следующую точку.
Румбы вычисляются на основе дирекционных углов:
- Если \(0^\circ \le \alpha < 90^\circ\), то румб = СВ \(\alpha\)
- Если \(90^\circ \le \alpha < 180^\circ\), то румб = ЮВ \((180^\circ - \alpha)\)
- Если \(180^\circ \le \alpha < 270^\circ\), то румб = ЮЗ \((\alpha - 180^\circ)\)
- Если \(270^\circ \le \alpha < 360^\circ\), то румб = СЗ \((360^\circ - \alpha)\)
Шаг 4: Вычисление приращений координат
Приращения координат вычисляются по формулам:
\(\Delta X = d \cdot \cos(\alpha)\)
\(\Delta Y = d \cdot \sin(\alpha)\)
где d - расстояние, \(\alpha\) - дирекционный угол.
Шаг 5: Вычисление исправленных приращений координат
Сумма приращений координат должна быть равна нулю. Если это не так, необходимо внести поправки.
Шаг 6: Вычисление координат точек
Координаты точек вычисляются последовательно:
\(X_{i+1} = X_i + \Delta X'_i\)
\(Y_{i+1} = Y_i + \Delta Y'_i\)
Замечания:
- Для более точных вычислений рекомендуется использовать значения углов в радианах.
- Необходимо учитывать знаки приращений координат в зависимости от квадранта.
Я предоставил общую структуру решения. Для полного заполнения таблицы необходимо выполнить все вычисления, используя предоставленные данные и формулы.
Ассистент: Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас помогу вам с решением задачи.
Задание 1: Заполнение таблицы теодолитного хода (Подробное решение)
В этой задаче требуется заполнить таблицу теодолитного хода, выполнив ряд последовательных вычислений. Рассмотрим каждый шаг подробно.
Дано:
- Номера станций: \(\Delta l\), 1, 2, 3, 4, 5
- Измеренные углы: \(151^\circ 24'\), \(136^\circ 26'\), \(92^\circ 10'\), \(127^\circ 20'\), \(105^\circ 15'\), \(107^\circ 23'\)
- Расстояния: 74.5, 99.3, 97.2, 118.5, 104.5, 64.5
- Координаты начальной точки: X = 150, Y = 250
- \(\Delta l = 1\)
- Начальный дирекционный угол (между станциями \(\Delta l\) и 1): \(126^\circ 30'\)
Шаг 1: Вычисление исправленных углов
-
Теоретическая сумма углов:
Для пятиугольника (5 станций) теоретическая сумма внутренних углов равна:
\(\Sigma_{теор} = (n - 2) \cdot 180^\circ = (6 - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ\) -
Сумма измеренных углов:
\(\Sigma_{изм} = 151^\circ 24' + 136^\circ 26' + 92^\circ 10' + 127^\circ 20' + 105^\circ 15' + 107^\circ 23' = 719^\circ 58'\) -
Ошибка в сумме углов:
\(f_\beta = \Sigma_{изм} - \Sigma_{теор} = 719^\circ 58' - 720^\circ = -0^\circ 02' = -2'\) -
Поправка на один угол:
\(\delta = -\frac{f_\beta}{n} = -\frac{-2'}{6} = \frac{2'}{6} = 0.33'\)
Округлим до \(0.3'\), то есть примерно \(0.005^\circ\) -
Исправленные углы:
- Станция \(\Delta l\): \(151^\circ 24' + 0.3' = 151^\circ 24.3'\)
- Станция 1: \(136^\circ 26' + 0.3' = 136^\circ 26.3'\)
- Станция 2: \(92^\circ 10' + 0.3' = 92^\circ 10.3'\)
- Станция 3: \(127^\circ 20' + 0.3' = 127^\circ 20.3'\)
- Станция 4: \(105^\circ 15' + 0.3' = 105^\circ 15.3'\)
- Станция 5: \(107^\circ 23' + 0.3' = 107^\circ 23.3'\)
Шаг 2: Вычисление дирекционных углов
Дирекционный угол - это угол между северным направлением и направлением на следующую точку.
- Начальный дирекционный угол (между станциями \(\Delta l\) и 1) дан: \(126^\circ 30'\)
Последующие дирекционные углы вычисляются по формуле:
\(\alpha_{i+1} = \alpha_i + 180^\circ - \beta_i\)
где \(\alpha_i\) - дирекционный угол предыдущего направления, \(\beta_i\) - исправленный угол на станции i.
- Станция 1: \(\alpha_{1-2} = 126^\circ 30' + 180^\circ - 136^\circ 26.3' = 170^\circ 03.7'\)
- Станция 2: \(\alpha_{2-3} = 170^\circ 03.7' + 180^\circ - 92^\circ 10.3' = 257^\circ 53.4'\)
- Станция 3: \(\alpha_{3-4} = 257^\circ 53.4' + 180^\circ - 127^\circ 20.3' = 310^\circ 33.1'\)
- Станция 4: \(\alpha_{4-5} = 310^\circ 33.1' + 180^\circ - 105^\circ 15.3' = 385^\circ 17.8' \equiv 285^\circ 17.8'\)
- Станция 5: \(\alpha_{5-\Delta l} = 285^\circ 17.8' + 180^\circ - 107^\circ 23.3' = 357^\circ 54.5'\)
Шаг 3: Вычисление румбов
Румб - это угол между направлением на север или юг и направлением на следующую точку.
Румбы вычисляются на основе дирекционных углов:
- Если \(0^\circ \le \alpha < 90^\circ\), то румб = СВ \(\alpha\)
- Если \(90^\circ \le \alpha < 180^\circ\), то румб = ЮВ \((180^\circ - \alpha)\)
- Если \(180^\circ \le \alpha < 270^\circ\), то румб = ЮЗ \((\alpha - 180^\circ)\)
- Если \(270^\circ \le \alpha < 360^\circ\), то румб = СЗ \((360^\circ - \alpha)\)
Применяем эти правила:
- \(\alpha_{1-2} = 170^\circ 03.7'\): Румб = ЮВ \((180^\circ - 170^\circ 03.7') = ЮВ 9^\circ 56.3'\)
- \(\alpha_{2-3} = 257^\circ 53.4'\): Румб = ЮЗ \((257^\circ 53.4' - 180^\circ) = ЮЗ 77^\circ 53.4'\)
- \(\alpha_{3-4} = 310^\circ 33.1'\): Румб = СЗ \((360^\circ - 310^\circ 33.1') = СЗ 49^\circ 26.9'\)
- \(\alpha_{4-5} = 285^\circ 17.8'\): Румб = СЗ \((360^\circ - 285^\circ 17.8') = СЗ 74^\circ 42.2'\)
- \(\alpha_{5-\Delta l} = 357^\circ 54.5'\): Румб = СЗ \((360^\circ - 357^\circ 54.5') = СЗ 2^\circ 05.5'\)
Шаг 4: Вычисление приращений координат
Приращения координат вычисляются по формулам:
\(\Delta X = d \cdot \cos(\alpha)\)
\(\Delta Y = d \cdot \sin(\alpha)\)
где d - расстояние, \(\alpha\) - дирекционный угол.
-
Линия 1-2:
- \(d = 74.5\)
- \(\alpha = 170^\circ 03.7'\)
- \(\Delta X = 74.5 \cdot \cos(170^\circ 03.7') = 74.5 \cdot (-0.9849) \approx -73.38\)
- \(\Delta Y = 74.5 \cdot \sin(170^\circ 03.7') = 74.5 \cdot (0.1730) \approx 12.89\)
-
Линия 2-3:
- \(d = 99.3\)
- \(\alpha = 257^\circ 53.4'\)
- \(\Delta X = 99.3 \cdot \cos(257^\circ 53.4') = 99.3 \cdot (-0.2094) \approx -20.79\)
- \(\Delta Y = 99.3 \cdot \sin(257^\circ 53.4') = 99.3 \cdot (-0.9778) \approx -97.10\)
-
Линия 3-4:
- \(d = 97.2\)
- \(\alpha = 310^\circ 33.1'\)
- \(\Delta X = 97.2 \cdot \cos(310^\circ 33.1') = 97.2 \cdot (0.6498) \approx 63.16\)
- \(\Delta Y = 97.2 \cdot \sin(310^\circ 33.1') = 97.2 \cdot (-0.7600) \approx -73.87\)
-
Линия 4-5:
- \(d = 118.5\)
- \(\alpha = 285^\circ 17.8'\)
- \(\Delta X = 118.5 \cdot \cos(285^\circ 17.8') = 118.5 \cdot (0.2503) \approx 29.66\)
- \(\Delta Y = 118.5 \cdot \sin(285^\circ 17.8') = 118.5 \cdot (-0.9681) \approx -114.72\)
-
Линия 5-\(\Delta l\):
- \(d = 104.5\)
- \(\alpha = 357^\circ 54.5'\)
- \(\Delta X = 104.5 \cdot \cos(357^\circ 54.5') = 104.5 \cdot (0.9993) \approx 104.43\)
- \(\Delta Y = 104.5 \cdot \sin(357^\circ 54.5') = 104.5 \cdot (-0.0395) \approx -4.13\)
-
Линия \(\Delta l\)-1:
- \(d = 64.5\)
- \(\alpha = 126^\circ 30'\)
- \(\Delta X = 64.5 \cdot \cos(126^\circ 30') = 64.5 \cdot (-0.5948) \approx -38.36\)
- \(\Delta Y = 64.5 \cdot \sin(126^\circ 30') = 64.5 \cdot (0.8090) \approx 52.18\)
Шаг 5: Вычисление исправленных приращений координат
Сумма приращений координат должна быть равна нулю. Если это не так, необходимо внести поправки.
Суммируем вычисленные приращения:
\(\Sigma \Delta X = -73.38 - 20.79 + 63.16 + 29.66 + 104.43 - 38.36 = 64.72\)
\(\Sigma \Delta Y = 12.89 - 97.10 - 73.87 - 114.72 - 4.13 + 52.18 = -224.75\)
Поправки на приращения:
\(v_X = -\frac{\Sigma \Delta X}{n} = -\frac{64.72}{6} = -10.79\)
\(v_Y = -\frac{\Sigma \Delta Y}{n} = -\frac{-224.75}{6} = 37.46\)
Исправленные приращения:
\(\Delta X' = \Delta X + v_X\)
\(\Delta Y' = \Delta Y + v_Y\)
-
Линия 1-2:
- \(\Delta X' = -73.38 - 10.79 = -84.17\)
- \(\Delta Y' = 12.89 + 37.46 = 50.35\)
-
Линия 2-3:
- \(\Delta X' = -20.79 - 10.79 = -31.58\)
- \(\Delta Y' = -97.10 + 37.46 = -59.64\)
-
Линия 3-4:
- \(\Delta X' = 63.16 - 10.79 = 52.37\)
- \(\Delta Y' = -73.87 + 37.46 = -36.41\)
-
Линия 4-5:
- \(\Delta X' = 29.66 - 10.79 = 18.87\)
- \(\Delta Y' = -114.72 + 37.46 = -77.26\)
-
Линия 5-\(\Delta l\):
- \(\Delta X' = 104.43 - 10.79 = 93.64\)
- \(\Delta Y' = -4.13 + 37.46 = 33.33\)
-
Линия \(\Delta l\)-1:
- \(\Delta X' = -38.36 - 10.79 = -49.15\)
- \(\Delta Y' = 52.18 + 37.46 = 89.64\)
Шаг 6: Вычисление координат точек
Координаты точек вычисляются последовательно:
\(X_{i+1} = X_i + \Delta X'_i\)
\(Y_{i+1} = Y_i + \Delta Y'_i\)
Начнем с координат точки \(\Delta l\): \(X_{\Delta l} = 150\), \(Y_{\Delta l} = 250\)
-
Точка 1:
- \(X_1 = X_{\Delta l} + \Delta X'_{\Delta l-1} = 150 - 49.15 = 100.85\)
- \(Y_1 = Y_{\Delta l} + \Delta Y'_{\Delta l-1} = 250 + 89.64 = 339.64\)
-
Точка 2:
- \(X_2 = X_1 + \Delta X'_{1-2} = 100.85 - 84.17 = 16.68\)
- \(Y_2 = Y_1 + \Delta Y'_{1-2} = 339.64 + 50.35 = 389.99\)
-
Точка 3:
- \(X_3 = X_2 + \Delta X'_{2-3} = 16.68 - 31.58 = -14.90\)
- \(Y_3 = Y_2 + \Delta Y'_{2-3} = 389.99 - 59.64 = 330.35\)
-
Точка 4:
- \(X_4 = X_3 + \Delta X'_{3-4} = -14.90 + 52.37 = 37.47\)
- \(Y_4 = Y_3 + \Delta Y'_{3-4} = 330.35 - 36.41 = 293.94\)
-
Точка 5:
- \(X_5 = X_4 + \Delta X'_{4-5} = 37.47 + 18.87 = 56.34\)
- \(Y_5 = Y_4 + \Delta Y'_{4-5} = 293.94 - 77.26 = 216.68\)
Итог:
Мы подробно рассмотрели каждый шаг решения задачи, начиная с вычисления исправленных углов и заканчивая определением координат точек. Важно помнить, что точность вычислений играет ключевую роль в геодезических задачах.
