Здравствуйте! Давайте решим задачу с матрицами.

Задание 2

Даны матрицы:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \ 2 & -1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 \ 2 & 4 & -6 \ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

Необходимо найти:
а) $AB$
б) $BA$
в) $A^{-1}$
г) $AA^{-1}$

а) $AB$

Чтобы найти произведение матриц $AB$, нужно умножить каждую строку матрицы $A$ на каждый столбец матрицы $B$.

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \ 2 & -1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 \ 2 & 4 & -6 \ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot3 + 1\cdot2 + (-1)\cdot1 & 2\cdot6 + 1\cdot4 + (-1)\cdot(-2) & 2\cdot0 + 1\cdot(-6) + (-1)\cdot3 \ 2\cdot3 + (-1)\cdot2 + 1\cdot1 & 2\cdot6 + (-1)\cdot4 + 1\cdot(-2) & 2\cdot0 + (-1)\cdot(-6) + 1\cdot3 \ 1\cdot3 + 0\cdot2 + 1\cdot1 & 1\cdot6 + 0\cdot4 + 1\cdot(-2) & 1\cdot0 + 0\cdot(-6) + 1\cdot3 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 6 + 2 - 1 & 12 + 4 + 2 & 0 - 6 - 3 \ 6 - 2 + 1 & 12 - 4 - 2 & 0 + 6 + 3 \ 3 + 0 + 1 & 6 + 0 - 2 & 0 + 0 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 18 & -9 \ 5 & 6 & 9 \ 4 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

Ответ: $AB = \begin{pmatrix} 7 & 18 & -9 \ 5 & 6 & 9 \ 4 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

б) $BA$

Чтобы найти произведение матриц $BA$, нужно умножить каждую строку матрицы $B$ на каждый столбец матрицы $A$.

$BA = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 \ 2 & 4 & -6 \ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \ 2 & -1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot2 + 6\cdot2 + 0\cdot1 & 3\cdot1 + 6\cdot(-1) + 0\cdot0 & 3\cdot(-1) + 6\cdot1 + 0\cdot1 \ 2\cdot2 + 4\cdot2 + (-6)\cdot1 & 2\cdot1 + 4\cdot(-1) + (-6)\cdot0 & 2\cdot(-1) + 4\cdot1 + (-6)\cdot1 \ 1\cdot2 + (-2)\cdot2 + 3\cdot1 & 1\cdot1 + (-2)\cdot(-1) + 3\cdot0 & 1\cdot(-1) + (-2)\cdot1 + 3\cdot1 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 6 + 12 + 0 & 3 - 6 + 0 & -3 + 6 + 0 \ 4 + 8 - 6 & 2 - 4 + 0 & -2 + 4 - 6 \ 2 - 4 + 3 & 1 + 2 + 0 & -1 - 2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & -3 & 3 \ 6 & -2 & -4 \ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

Ответ: $BA = \begin{pmatrix} 18 & -3 & 3 \ 6 & -2 & -4 \ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$