Решение задач с матрицами: умножение и нахождение обратной матрицы

Здравствуйте! Давайте решим задачу с матрицами.

Задание 2

Даны матрицы:

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 \\ 2 & 4 & -6 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}\)

Необходимо найти:
а) \(AB\)
б) \(BA\)
в) \(A^{-1}\)
г) \(AA^{-1}\)

а) \(AB\)

Чтобы найти произведение матриц \(AB\), нужно умножить каждую строку матрицы \(A\) на каждый столбец матрицы \(B\).

\(AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 \\ 2 & 4 & -6 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot3 + 1\cdot2 + (-1)\cdot1 & 2\cdot6 + 1\cdot4 + (-1)\cdot(-2) & 2\cdot0 + 1\cdot(-6) + (-1)\cdot3 \\ 2\cdot3 + (-1)\cdot2 + 1\cdot1 & 2\cdot6 + (-1)\cdot4 + 1\cdot(-2) & 2\cdot0 + (-1)\cdot(-6) + 1\cdot3 \\ 1\cdot3 + 0\cdot2 + 1\cdot1 & 1\cdot6 + 0\cdot4 + 1\cdot(-2) & 1\cdot0 + 0\cdot(-6) + 1\cdot3 \end{pmatrix}\)

\(AB = \begin{pmatrix} 6 + 2 - 1 & 12 + 4 + 2 & 0 - 6 - 3 \\ 6 - 2 + 1 & 12 - 4 - 2 & 0 + 6 + 3 \\ 3 + 0 + 1 & 6 + 0 - 2 & 0 + 0 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 18 & -9 \\ 5 & 6 & 9 \\ 4 & 4 & 3 \end{pmatrix}\)

Ответ: \(AB = \begin{pmatrix} 7 & 18 & -9 \\ 5 & 6 & 9 \\ 4 & 4 & 3 \end{pmatrix}\)

б) \(BA\)

Чтобы найти произведение матриц \(BA\), нужно умножить каждую строку матрицы \(B\) на каждый столбец матрицы \(A\).

\(BA = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 \\ 2 & 4 & -6 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot2 + 6\cdot2 + 0\cdot1 & 3\cdot1 + 6\cdot(-1) + 0\cdot0 & 3\cdot(-1) + 6\cdot1 + 0\cdot1 \\ 2\cdot2 + 4\cdot2 + (-6)\cdot1 & 2\cdot1 + 4\cdot(-1) + (-6)\cdot0 & 2\cdot(-1) + 4\cdot1 + (-6)\cdot1 \\ 1\cdot2 + (-2)\cdot2 + 3\cdot1 & 1\cdot1 + (-2)\cdot(-1) + 3\cdot0 & 1\cdot(-1) + (-2)\cdot1 + 3\cdot1 \end{pmatrix}\)

\(BA = \begin{pmatrix} 6 + 12 + 0 & 3 - 6 + 0 & -3 + 6 + 0 \\ 4 + 8 - 6 & 2 - 4 + 0 & -2 + 4 - 6 \\ 2 - 4 + 3 & 1 + 2 + 0 & -1 - 2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & -3 & 3 \\ 6 & -2 & -4 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}\)

Ответ: \(BA = \begin{pmatrix} 18 & -3 & 3 \\ 6 & -2 & -4 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}\)