Анализ тригонометрической функции y = cos(x - pi/4)

Привет! 👋 Давай разберем анализ функции \(y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\).

Задание 2. Анализ функции \(y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\)

a) Нули функции:

Нули функции — это значения \(x\), при которых \(y = 0\). Для косинуса это происходит, когда аргумент равен \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Решение студента:
Студент верно определил общее решение для \(\cos(\theta) = 0\) как \(\theta = \frac{\pi}{2} + \pi n\).
Затем он приравнял аргумент функции \(x - \frac{\pi}{4}\) к этому выражению:
\(x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n\)
И правильно выразил \(x\):
\(x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n\)
\(x = \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi n\)
\(x = \frac{3\pi}{4} + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

✅ Вывод: Решение по нахождению нулей функции выполнено абсолютно верно! Отличная работа!

b) Промежутки убывания и возрастания:

Функция косинуса \(y = \cos(t)\) убывает на интервалах \((2\pi k, \pi + 2\pi k)\) и возрастает на интервалах \((\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Решение студента:
Студент указал, что функция косинуса убывает на интервале \((0, \pi)\). Это верно для базовой функции \(\cos(t)\) на одном периоде. Однако, для функции \(y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\) нужно учесть сдвиг аргумента.

Шаг 1: Находим интервалы убывания для аргумента.
Функция \(\cos(t)\) убывает, когда \(t \in (0 + 2\pi k, \pi + 2\pi k)\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
Подставляем аргумент нашей функции: \(0 + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k\)
Прибавляем \(\frac{\pi}{4}\) ко всем частям неравенства:
\(\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k\)
\(\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\)

Таким образом, промежутки убывания: \(x \in \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\right)\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Шаг 2: Находим интервалы возрастания для аргумента.
Функция \(\cos(t)\) возрастает, когда \(t \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
Подставляем аргумент нашей функции: \(\pi + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2\pi k\)
Прибавляем \(\frac{\pi}{4}\) ко всем частям неравенства:
\(\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k\)
\(\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k\)

Таким образом, промежутки возрастания: \(x \in \left(\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n\right)\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Сравнение с решением студента:
Студент верно определил интервалы убывания и возрастания с учетом сдвига и периода. Его решение:
* Убывание: \(x \in \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\right)\)
* Возрастание: \(x \in \left(\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{9\pi}{4} + 2\pi n\right)\)

✅ Вывод: Решение по нахождению промежутков убывания и возрастания также выполнено верно! Студент правильно учел сдвиг фазы и периодичность функции.

Общий вывод по заданию 2: Все пункты выполнены правильно. Отличная работа!