Привет! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас помогу тебе с этими заданиями.

Задание 1.12 (a)

Вычислить определитель с помощью теоремы Лапласа:

$\begin{vmatrix}
1 & 0 & 2 \
5 & 1 & 8 \
-1 & 3 & 2
\end{vmatrix}$

Разложим определитель по первой строке:

$\begin{vmatrix}
1 & 0 & 2 \
5 & 1 & 8 \
-1 & 3 & 2
\end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 8 \ 3 & 2 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 8 \ -1 & 2 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \ -1 & 3 \end{vmatrix}$

Вычислим миноры:

$\begin{vmatrix} 1 & 8 \ 3 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (8 \cdot 3) = 2 - 24 = -22$

$\begin{vmatrix} 5 & 1 \ -1 & 3 \end{vmatrix} = (5 \cdot 3) - (1 \cdot -1) = 15 + 1 = 16$

Подставим значения в разложение:

$1 \cdot (-22) - 0 + 2 \cdot (16) = -22 + 32 = 10$

Ответ: 10

Задание 1.12 (б)

Вычислить определитель с помощью теоремы Лапласа:

$\begin{vmatrix}
3 & 2 & 5 \
2 & -1 & 4 \
1 & 2 & -8
\end{vmatrix}$

Разложим определитель по первой строке:

$\begin{vmatrix}
3 & 2 & 5 \
2 & -1 & 4 \
1 & 2 & -8
\end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 4 \ 2 & -8 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \ 1 & -8 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \ 1 & 2 \end{vmatrix}$

Вычислим миноры:

$\begin{vmatrix} -1 & 4 \ 2 & -8 \end{vmatrix} = (-1 \cdot -8) - (4 \cdot 2) = 8 - 8 = 0$

$\begin{vmatrix} 2 & 4 \ 1 & -8 \end{vmatrix} = (2 \cdot -8) - (4 \cdot 1) = -16 - 4 = -20$

$\begin{vmatrix} 2 & -1 \ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (-1 \cdot 1) = 4 + 1 = 5$

Подставим значения в разложение:

$3 \cdot 0 - 2 \cdot (-20) + 5 \cdot 5 = 0 + 40 + 25 = 65$

Ответ: 65

Задание 1.13 (a)

Вычислить определитель:

$\begin{vmatrix}
-1 & -2 & 3 & 4 \
2 & 0 & 1 & -1 \
3 & -3 & 1 & 0 \
4 & 2 & 1 & -2
\end{vmatrix}$

Приведем матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

Вычтем из второй строки удвоенную первую строку, из третьей строки утроенную первую строку, из четвертой строки учетверенную первую строку:

$\begin{vmatrix}
-1 & -2 & 3 & 4 \
0 & 4 & -5 & -9 \
0 & 3 & -8 & -12 \
0 & -6 & 13 & 14
\end{vmatrix}$

Умножим третью строку на 4, вторую строку на 3:

$\begin{vmatrix}
-1 & -2 & 3 & 4 \
0 & 12 & -15 & -27 \
0 & 12 & -32 & -48 \
0 & -6 & 13 & 14
\end{vmatrix}$

Вычтем из третьей строки вторую строку:

$\begin{vmatrix}
-1 & -2 & 3 & 4 \
0 & 12 & -15 & -27 \
0 & 0 & -17 & -21 \
0 & -6 & 13 & 14
\end{vmatrix}$

Умножим четвертую строку на 2:

$\begin{vmatrix}
-1 & -2 & 3 & 4 \
0 & 12 & -15 & -27 \
0 & 0 & -17 & -21 \
0 & -12 & 26 & 28
\end{vmatrix}$

Прибавим к четвертой строке вторую строку:

$\begin{vmatrix}
-1 & -2 & 3 & 4 \
0 & 12 & -15 & -27 \
0 & 0 & -17 & -21 \
0 & 0 & 11 & 1
\end{vmatrix}$

Умножим четвертую строку на 17, третью строку на 11:

$\begin{vmatrix}
-1 & -2 & 3 & 4 \
0 & 12 & -15 & -27 \
0 & 0 & -187 & -231 \
0 & 0 & 187 & 17
\end{vmatrix}$

Прибавим к четвертой строке третью строку:

$\begin{vmatrix}
-1 & -2 & 3 & 4 \
0 & 12 & -15 & -27 \
0 & 0 & -187 & -231 \
0 & 0 & 0 & -214
\end{vmatrix}$

Определитель равен произведению элементов главной диагонали:

$(-1) \cdot 12 \cdot (-17) \cdot (-214) = -43656$

Ответ: -43656