Вычисление определителей матриц с использованием теоремы Лапласа и элементарных преобразований

Привет! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас помогу тебе с этими заданиями.

Задание 1.12 (a)

Вычислить определитель с помощью теоремы Лапласа:

\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 5 & 1 & 8 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix}\)

Разложим определитель по первой строке:

\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 5 & 1 & 8 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 8 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 8 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}\)

Вычислим миноры:

\(\begin{vmatrix} 1 & 8 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (8 \cdot 3) = 2 - 24 = -22\)

\(\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (5 \cdot 3) - (1 \cdot -1) = 15 + 1 = 16\)

Подставим значения в разложение:

\(1 \cdot (-22) - 0 + 2 \cdot (16) = -22 + 32 = 10\)

Ответ: 10

Задание 1.12 (б)

Вычислить определитель с помощью теоремы Лапласа:

\(\begin{vmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & -8 \end{vmatrix}\)

Разложим определитель по первой строке:

\(\begin{vmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & -8 \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\)

Вычислим миноры:

\(\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} = (-1 \cdot -8) - (4 \cdot 2) = 8 - 8 = 0\)

\(\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} = (2 \cdot -8) - (4 \cdot 1) = -16 - 4 = -20\)

\(\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (-1 \cdot 1) = 4 + 1 = 5\)

Подставим значения в разложение:

\(3 \cdot 0 - 2 \cdot (-20) + 5 \cdot 5 = 0 + 40 + 25 = 65\)

Ответ: 65

Задание 1.13 (a)

Вычислить определитель:

\(\begin{vmatrix} -1 & -2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}\)

Приведем матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

Вычтем из второй строки удвоенную первую строку, из третьей строки утроенную первую строку, из четвертой строки учетверенную первую строку:

\(\begin{vmatrix} -1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & -5 & -9 \\ 0 & 3 & -8 & -12 \\ 0 & -6 & 13 & 14 \end{vmatrix}\)

Умножим третью строку на 4, вторую строку на 3:

\(\begin{vmatrix} -1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 12 & -15 & -27 \\ 0 & 12 & -32 & -48 \\ 0 & -6 & 13 & 14 \end{vmatrix}\)

Вычтем из третьей строки вторую строку:

\(\begin{vmatrix} -1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 12 & -15 & -27 \\ 0 & 0 & -17 & -21 \\ 0 & -6 & 13 & 14 \end{vmatrix}\)

Умножим четвертую строку на 2:

\(\begin{vmatrix} -1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 12 & -15 & -27 \\ 0 & 0 & -17 & -21 \\ 0 & -12 & 26 & 28 \end{vmatrix}\)

Прибавим к четвертой строке вторую строку:

\(\begin{vmatrix} -1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 12 & -15 & -27 \\ 0 & 0 & -17 & -21 \\ 0 & 0 & 11 & 1 \end{vmatrix}\)

Умножим четвертую строку на 17, третью строку на 11:

\(\begin{vmatrix} -1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 12 & -15 & -27 \\ 0 & 0 & -187 & -231 \\ 0 & 0 & 187 & 17 \end{vmatrix}\)

Прибавим к четвертой строке третью строку:

\(\begin{vmatrix} -1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 12 & -15 & -27 \\ 0 & 0 & -187 & -231 \\ 0 & 0 & 0 & -214 \end{vmatrix}\)

Определитель равен произведению элементов главной диагонали:

\((-1) \cdot 12 \cdot (-17) \cdot (-214) = -43656\)

Ответ: -43656