Решение квадратных неравенств: x^2 + 3x - 4 > 0, 4x^2 - 8x <= 0, x^2 > 4

Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим эти задания по порядку.

Задание 1: Решите неравенства

1) \(x^2 + 3x - 4 > 0\)

1. Найдем корни квадратного уравнения: \(x^2 + 3x - 4 = 0\).

   • Используем теорему Виета: \(x_1 + x_2 = -3\) и \(x_1 \cdot x_2 = -4\).
   • Корни: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -4\).

2. Определим интервалы: \((-\infty, -4)\), \((-4, 1)\), \((1, +\infty)\).

3. Проверим знаки на интервалах:

   • \(x = -5\): \((-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0\)
   • \(x = 0\): \(0^2 + 3(0) - 4 = -4 < 0\)
   • \(x = 2\): \(2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0\)

4. Запишем решение: \(x \in (-\infty, -4) \cup (1, +\infty)\).

2) \(4x^2 - 8x \leq 0\)

1. Вынесем общий множитель: \(4x(x - 2) \leq 0\).

2. Найдем корни: \(4x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) и \(x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2\).

3. Определим интервалы: \((-\infty, 0]\), \([0, 2]\), \([2, +\infty)\).

4. Проверим знаки на интервалах:

   • \(x = -1\): \(4(-1)(-1 - 2) = 4(-1)(-3) = 12 > 0\)
   • \(x = 1\): \(4(1)(1 - 2) = 4(1)(-1) = -4 < 0\)
   • \(x = 3\): \(4(3)(3 - 2) = 4(3)(1) = 12 > 0\)

5. Запишем решение: \(x \in [0, 2]\).

3) \(x^2 > 4\)

1. Преобразуем неравенство: \(x^2 - 4 > 0\).

2. Разложим на множители: \((x - 2)(x + 2) > 0\).

3. Найдем корни: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -2\).

4. Определим интервалы: \((-\infty, -2)\), \((-2, 2)\), \((2, +\infty)\).

5. Проверим знаки на интервалах:

   • \(x = -3\): \((-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 > 0\)
   • \(x = 0\): \((0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 < 0\)
   • \(x = 3\): \((3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 > 0\)

6. Запишем решение: \(x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)\).

Ассистент: Конечно, сейчас объясню решение первого неравенства максимально подробно.

Задание 1.1: Подробное решение неравенства \(x^2 + 3x - 4 > 0\)

1. Преобразуем неравенство в уравнение:

   • Рассмотрим квадратное уравнение \(x^2 + 3x - 4 = 0\). Это необходимо для нахождения точек, где функция меняет знак.

2. Найдем корни квадратного уравнения:

   • Используем теорему Виета для нахождения корней. Теорема Виета утверждает, что для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a}\).
   • В нашем случае: \(x_1 + x_2 = -3\) и \(x_1 \cdot x_2 = -4\).
   • Подбираем числа, удовлетворяющие этим условиям: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -4\).
   • Таким образом, корни уравнения \(x^2 + 3x - 4 = 0\) равны \(1\) и \(-4\).

3. Определим интервалы:

   • Корни делят числовую прямую на три интервала: \((-\infty, -4)\), \((-4, 1)\), \((1, +\infty)\).

4. Проверим знаки на интервалах:

   • Выбираем тестовые точки из каждого интервала и подставляем их в исходное неравенство \(x^2 + 3x - 4 > 0\).
   • Интервал \((-\infty, -4)\):
     • Выберем \(x = -5\).
     • Подставим: \((-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0\).
     • Неравенство выполняется.
   • Интервал \((-4, 1)\):
     • Выберем \(x = 0\).
     • Подставим: \(0^2 + 3(0) - 4 = -4 < 0\).
     • Неравенство не выполняется.
   • Интервал \((1, +\infty)\):
     • Выберем \(x = 2\).
     • Подставим: \(2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0\).
     • Неравенство выполняется.

5. Запишем решение:

   • Неравенство \(x^2 + 3x - 4 > 0\) выполняется на интервалах \((-\infty, -4)\) и \((1, +\infty)\).
   • Следовательно, решение: \(x \in (-\infty, -4) \cup (1, +\infty)\).