Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим эти задания по порядку.

Задание 1: Решите неравенства

1) $x^2 + 3x - 4 > 0$

1. Найдем корни квадратного уравнения: $x^2 + 3x - 4 = 0$.

   • Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -4$.
   • Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

2. Определим интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, 1)$, $(1, +\infty)$.

3. Проверим знаки на интервалах:

   • $x = -5$: $(-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0$
   • $x = 0$: $0^2 + 3(0) - 4 = -4 < 0$
   • $x = 2$: $2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0$

4. Запишем решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$.

2) $4x^2 - 8x \leq 0$

1. Вынесем общий множитель: $4x(x - 2) \leq 0$.

2. Найдем корни: $4x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$ и $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$.

3. Определим интервалы: $(-\infty, 0]$, $[0, 2]$, $[2, +\infty)$.

4. Проверим знаки на интервалах:

   • $x = -1$: $4(-1)(-1 - 2) = 4(-1)(-3) = 12 > 0$
   • $x = 1$: $4(1)(1 - 2) = 4(1)(-1) = -4 < 0$
   • $x = 3$: $4(3)(3 - 2) = 4(3)(1) = 12 > 0$

5. Запишем решение: $x \in [0, 2]$.

3) $x^2 > 4$

1. Преобразуем неравенство: $x^2 - 4 > 0$.

2. Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) > 0$.

3. Найдем корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

4. Определим интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, +\infty)$.

5. Проверим знаки на интервалах:

   • $x = -3$: $(-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 > 0$
   • $x = 0$: $(0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 < 0$
   • $x = 3$: $(3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 > 0$

6. Запишем решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Ассистент: Конечно, сейчас объясню решение первого неравенства максимально подробно.

Задание 1.1: Подробное решение неравенства $x^2 + 3x - 4 > 0$

1. Преобразуем неравенство в уравнение:

   • Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$. Это необходимо для нахождения точек, где функция меняет знак.

2. Найдем корни квадратного уравнения:

   • Используем теорему Виета для нахождения корней. Теорема Виета утверждает, что для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $\frac{c}{a}$.
   • В нашем случае: $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -4$.
   • Подбираем числа, удовлетворяющие этим условиям: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
   • Таким образом, корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ равны $1$ и $-4$.

3. Определим интервалы:

   • Корни делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 1)$, $(1, +\infty)$.

4. Проверим знаки на интервалах:

   • Выбираем тестовые точки из каждого интервала и подставляем их в исходное неравенство $x^2 + 3x - 4 > 0$.
   • Интервал $(-\infty, -4)$:
     • Выберем $x = -5$.
     • Подставим: $(-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0$.
     • Неравенство выполняется.
   • Интервал $(-4, 1)$:
     • Выберем $x = 0$.
     • Подставим: $0^2 + 3(0) - 4 = -4 < 0$.
     • Неравенство не выполняется.
   • Интервал $(1, +\infty)$:
     • Выберем $x = 2$.
     • Подставим: $2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0$.
     • Неравенство выполняется.

5. Запишем решение:

   • Неравенство $x^2 + 3x - 4 > 0$ выполняется на интервалах $(-\infty, -4)$ и $(1, +\infty)$.
   • Следовательно, решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (1, +\infty)$.