Расчет доходности и риска портфеля активов

Задание 1

Оценка ожидаемой доходности портфеля

Ожидаемая доходность портфеля рассчитывается как средневзвешенная доходность активов, входящих в портфель. Формула для расчета ожидаемой доходности портфеля:

\(E(R_p) = w_A \cdot E(R_A) + w_B \cdot E(R_B)\)

где:
- \(E(R_p)\) – ожидаемая доходность портфеля
- \(w_A\) – доля актива A в портфеле
- \(E(R_A)\) – ожидаемая доходность актива A
- \(w_B\) – доля актива B в портфеле
- \(E(R_B)\) – ожидаемая доходность актива B

В нашем случае:
- \(E(R_A) = 18\% = 0.18\)
- \(E(R_B) = 22\% = 0.22\)
- \(w_A = 0.5\)
- \(w_B = 0.5\)

Подставляем значения в формулу:

\(E(R_p) = 0.5 \cdot 0.18 + 0.5 \cdot 0.22 = 0.09 + 0.11 = 0.20 = 20\%\)

Ответ: Ожидаемая доходность портфеля составляет 20%.

Оценка стандартного отклонения доходности портфеля

Стандартное отклонение доходности портфеля зависит от коэффициента корреляции между активами. Формула для расчета стандартного отклонения портфеля:

\(\sigma_p = \sqrt{w_A^2 \cdot \sigma_A^2 + w_B^2 \cdot \sigma_B^2 + 2 \cdot w_A \cdot w_B \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot \rho_{AB}}\)

где:
- \(\sigma_p\) – стандартное отклонение портфеля
- \(\sigma_A\) – стандартное отклонение актива A
- \(\sigma_B\) – стандартное отклонение актива B
- \(\rho_{AB}\) – коэффициент корреляции между активами A и B

В нашем случае:
- \(\sigma_A = 25\% = 0.25\)
- \(\sigma_B = 35\% = 0.35\)
- \(w_A = 0.5\)
- \(w_B = 0.5\)

Рассмотрим каждый случай коэффициента корреляции:

1. \(\rho_{AB} = 1\)

\(\sigma_p = \sqrt{0.5^2 \cdot 0.25^2 + 0.5^2 \cdot 0.35^2 + 2 \cdot 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.25 \cdot 0.35 \cdot 1} = \sqrt{0.015625 + 0.030625 + 0.04375} = \sqrt{0.09} = 0.3 = 30\%\)

2. \(\rho_{AB} = 0.8\)

\(\sigma_p = \sqrt{0.5^2 \cdot 0.25^2 + 0.5^2 \cdot 0.35^2 + 2 \cdot 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.25 \cdot 0.35 \cdot 0.8} = \sqrt{0.015625 + 0.030625 + 0.035} = \sqrt{0.08125} \approx 0.285 = 28.5\%\)

3. \(\rho_{AB} = 0.2\)

\(\sigma_p = \sqrt{0.5^2 \cdot 0.25^2 + 0.5^2 \cdot 0.35^2 + 2 \cdot 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.25 \cdot 0.35 \cdot 0.2} = \sqrt{0.015625 + 0.030625 + 0.00875} = \sqrt{0.055} \approx 0.2345 = 23.45\%\)

4. \(\rho_{AB} = 0\)

\(\sigma_p = \sqrt{0.5^2 \cdot 0.25^2 + 0.5^2 \cdot 0.35^2 + 2 \cdot 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.25 \cdot 0.35 \cdot 0} = \sqrt{0.015625 + 0.030625 + 0} = \sqrt{0.04625} \approx 0.215 = 21.5\%\)

5. \(\rho_{AB} = -0.4\)

\(\sigma_p = \sqrt{0.5^2 \cdot 0.25^2 + 0.5^2 \cdot 0.35^2 + 2 \cdot 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.25 \cdot 0.35 \cdot (-0.4)} = \sqrt{0.015625 + 0.030625 - 0.0175} = \sqrt{0.02875} \approx 0.1696 = 16.96\%\)

6. \(\rho_{AB} = -1\)

\(\sigma_p = \sqrt{0.5^2 \cdot 0.25^2 + 0.5^2 \cdot 0.35^2 + 2 \cdot 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.25 \cdot 0.35 \cdot (-1)} = \sqrt{0.015625 + 0.030625 - 0.0875} = \sqrt{-0.04125}\)

В данном случае, подкоренное выражение отрицательное, что говорит о том, что при \(\rho_{AB} = -1\) портфель становится безрисковым, если правильно подобрать пропорции активов. В данном случае, доли активов одинаковы (0.5), поэтому стандартное отклонение не может быть вычислено напрямую.

Ответы:

• При \(\rho_{AB} = 1\): \(\sigma_p = 30\%\)
• При \(\rho_{AB} = 0.8\): \(\sigma_p \approx 28.5\%\)
• При \(\rho_{AB} = 0.2\): \(\sigma_p \approx 23.45\%\)
• При \(\rho_{AB} = 0\): \(\sigma_p \approx 21.5\%\)
• При \(\rho_{AB} = -0.4\): \(\sigma_p \approx 16.96\%\)
• При \(\rho_{AB} = -1\): портфель становится безрисковым (при правильных пропорциях активов).

Я могу предоставить решение в формате Markdown, как в предыдущем ответе. К сожалению, я не умею создавать файлы Word.

Ассистент: ## Задание 2

Определение ожидаемой доходности и стандартного отклонения доходности портфеля

Инвестиционный фонд распределил капитал в 10 тыс. у.е. между индексным портфелем (6 тыс. у.е.) и безрисковым активом (4 тыс. у.е.). Ожидаемая доходность индексного портфеля составляет 14% годовых, стандартное отклонение его доходности - 25%, безрисковая доходность составляет 6% годовых.

1. Определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности портфеля, составленного инвестиционным фондом.

Для начала определим доли каждого актива в портфеле:

• Доля индексного портфеля: \(w_I = \frac{6}{10} = 0.6\)
• Доля безрискового актива: \(w_B = \frac{4}{10} = 0.4\)

Теперь рассчитаем ожидаемую доходность портфеля:

\(E(R_p) = w_I \cdot E(R_I) + w_B \cdot E(R_B)\)

где:

• \(E(R_p)\) – ожидаемая доходность портфеля
• \(E(R_I)\) – ожидаемая доходность индексного портфеля (14% = 0.14)
• \(E(R_B)\) – ожидаемая доходность безрискового актива (6% = 0.06)

Подставляем значения:

\(E(R_p) = 0.6 \cdot 0.14 + 0.4 \cdot 0.06 = 0.084 + 0.024 = 0.108 = 10.8\%\)

Теперь рассчитаем стандартное отклонение доходности портфеля. Поскольку безрисковый актив имеет стандартное отклонение 0, формула упрощается:

\(\sigma_p = w_I \cdot \sigma_I\)

где:

• \(\sigma_p\) – стандартное отклонение портфеля
• \(\sigma_I\) – стандартное отклонение индексного портфеля (25% = 0.25)

Подставляем значения:

\(\sigma_p = 0.6 \cdot 0.25 = 0.15 = 15\%\)

Ответ: Ожидаемая доходность портфеля составляет 10.8%, стандартное отклонение доходности портфеля составляет 15%.

Ассистент: ## Теоретические основы и правила для Задания 1 и 2

Основные понятия

1. Портфель активов: Комбинация различных финансовых активов (акций, облигаций, и т.д.), принадлежащих инвестору.
2. Ожидаемая доходность актива (\(E(R_i)\)): Средневзвешенное значение возможных доходностей актива, где весами являются вероятности этих доходностей.
3. Стандартное отклонение доходности актива (\(\sigma_i\)): Мера риска актива, показывающая, насколько фактическая доходность может отклоняться от ожидаемой.
4. Коэффициент корреляции (\(\rho_{AB}\)): Мера взаимосвязи между доходностями двух активов. Принимает значения от -1 до 1:
   • \(\rho_{AB} = 1\): Полная положительная корреляция (доходности движутся в одном направлении).
   • \(\rho_{AB} = -1\): Полная отрицательная корреляция (доходности движутся в противоположных направлениях).
   • \(\rho_{AB} = 0\): Отсутствие корреляции.
5. Безрисковый актив: Актив с нулевым стандартным отклонением доходности (например, государственные облигации).

Формулы

1. Ожидаемая доходность портфеля (\(E(R_p)\)):

   \(E(R_p) = \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot E(R_i)\)

   где:

   • \(w_i\) – доля актива i в портфеле
   • \(E(R_i)\) – ожидаемая доходность актива i
   • \(n\) – количество активов в портфеле
     2. Стандартное отклонение доходности портфеля из двух активов (\(\sigma_p\)):

   \(\sigma_p = \sqrt{w_A^2 \cdot \sigma_A^2 + w_B^2 \cdot \sigma_B^2 + 2 \cdot w_A \cdot w_B \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B \cdot \rho_{AB}}\)

   где:

   • \(\sigma_A\) – стандартное отклонение актива A
   • \(\sigma_B\) – стандартное отклонение актива B
   • \(\rho_{AB}\) – коэффициент корреляции между активами A и B
     3. Стандартное отклонение портфеля с безрисковым активом:

   Если в портфель входит безрисковый актив, то стандартное отклонение портфеля рассчитывается как:

   \(\sigma_p = w_I \cdot \sigma_I\)

   где:

   • \(w_I\) – доля рискового актива (индексного портфеля) в портфеле
   • \(\sigma_I\) – стандартное отклонение рискового актива

Правила и принципы

1. Диверсификация: Распределение инвестиций между различными активами для снижения риска. Чем ниже корреляция между активами, тем больше эффект диверсификации.
2. Влияние корреляции:
   • При положительной корреляции риск портфеля выше, чем при отрицательной или нулевой.
   • При отрицательной корреляции можно создать портфель с минимальным риском (или даже безрисковый, если \(\rho_{AB} = -1\) и доли активов подобраны правильно).
3. Роль безрискового актива: Добавление безрискового актива в портфель снижает общий риск портфеля, но также снижает и ожидаемую доходность.

Применение в задачах

• Задание 1: Оценка влияния коэффициента корреляции на риск портфеля. Различные значения \(\rho_{AB}\) показывают, как меняется риск портфеля при изменении взаимосвязи между активами.
• Задание 2: Оценка влияния безрискового актива на риск и доходность портфеля. Безрисковый актив снижает риск, но и уменьшает потенциальную доходность.

Ассистент: ## Задание 2 (продолжение)

Оценка изменений доходности и стандартного отклонения при использовании заемных средств

2. Оценить как изменятся ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности портфеля, если фонд, вместо вложений в безрисковый актив, занимает 4 тыс. у.е. по безрисковой ставке 6% и вкладывает их наряду с собственным капиталом в 10 тыс. у.е. в индексный портфель, характеристики которого указаны выше.

В этом случае фонд использует леверидж (заемные средства) для увеличения инвестиций в индексный портфель.

• Общая сумма инвестиций в индексный портфель: 10 тыс. у.е. (собственные средства) + 4 тыс. у.е. (заемные средства) = 14 тыс. у.е.
• Доля собственных средств: 10 тыс. у.е.
• Доля заемных средств: 4 тыс. у.е.
• Ожидаемая доходность индексного портфеля: 14%
• Стоимость заемных средств (процентная ставка): 6%

Рассчитаем ожидаемую доходность портфеля с учетом заемных средств:

\(E(R_p) = E(R_I) - w_B \cdot r_B\)

где:

• \(E(R_I)\) – доходность индексного портфеля (14% = 0.14)
• \(w_B\) – доля заемных средств в общей сумме инвестиций: \(\frac{4}{10} = 0.4\)
• \(r_B\) – стоимость заемных средств (6% = 0.06)

\(E(R_p) = 0.14 + 0.4 \cdot (0.14 - 0.06) = 0.14 + 0.4 \cdot 0.08 = 0.14 + 0.032 = 0.172 = 17.2\%\)

Теперь рассчитаем стандартное отклонение доходности портфеля. Поскольку мы увеличили инвестиции в индексный портфель, стандартное отклонение также увеличится:

\(\sigma_p = \frac{\text{Общая сумма инвестиций}}{\text{Собственные средства}} \cdot \sigma_I\)

\(\sigma_p = \frac{14}{10} \cdot 0.25 = 1.4 \cdot 0.25 = 0.35 = 35\%\)

Ответ: Если фонд использует заемные средства, ожидаемая доходность портфеля составит 17.2%, а стандартное отклонение доходности портфеля составит 35%.

Ассистент: ## Задание 3 (Задача 83)

Расчет фактической доходности, ожидаемой доходности, дисперсии и стандартного отклонения

1. Расчет фактической доходности:

   Фактическая доходность за каждый день рассчитывается по формуле:

   \(R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}}\)

   где:

   • \(R_t\) – доходность в день t
   • \(P_t\) – цена акции в день t
   • \(P_{t-1}\) – цена акции в предыдущий день

   Рассчитаем доходность для акций ОАО «ВТБ» и ОАО «Ростелеком» за каждый день, используя данные из таблиц 3.86 и 3.87.

2. Оценка ожидаемой дневной доходности:

   Ожидаемая дневная доходность рассчитывается как среднее арифметическое фактических доходностей за период:

   \(E(R) = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} R_t\)

   где:

   • \(E(R)\) – ожидаемая доходность
   • \(n\) – количество дней (17, так как у нас 18 цен, и мы считаем изменение между ними)
   • \(R_t\) – доходность в день t

3. Дисперсия и стандартное отклонение дневной доходности:

   Дисперсия рассчитывается по формуле:

   \(\sigma^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{t=1}^{n} (R_t - E(R))^2\)

   где:

   • \(\sigma^2\) – дисперсия
   • \(R_t\) – доходность в день t
   • \(E(R)\) – ожидаемая доходность
   • \(n\) – количество дней (17)

   Стандартное отклонение – это квадратный корень из дисперсии:

   \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\)

4. Пересчет в годовое измерение:

   • Ожидаемая годовая доходность:

     \(E(R_{\text{annual}}) = E(R) \cdot 252\)

     (Предполагаем 252 торговых дня в году)
     * Годовое стандартное отклонение:

     \(\sigma_{\text{annual}} = \sigma \cdot \sqrt{252}\)

5. Вывод о лучшей инвестиции:

   Сравнить ожидаемую годовую доходность и годовое стандартное отклонение для обеих акций. Акция с более высокой ожидаемой доходностью и меньшим стандартным отклонением будет считаться лучшей инвестицией в течение рассматриваемого периода.

Расчеты для ОАО «ВТБ»

Сначала рассчитаем дневные доходности для ОАО «ВТБ»:

Теперь рассчитаем ожидаемую дневную доходность:

\(E(R) = \frac{-1.196 + 1.450 + 0.590 - 0.381 + 0.309 + 1.231 - 0.072 + 0.580 - 3.100 - 0.238 - 0.373 + 0.179 + 0.060 - 3.716 + 3.348 + 5.145 - 3.000}{17} = \frac{1.086}{17} = 0.0639\%\)

Дисперсия:

\(\sigma^2 = \frac{(-1.196 - 0.0639)^2 + (1.450 - 0.0639)^2 + \dots + (-3.000 - 0.0639)^2}{16} = 6.424\)

Стандартное отклонение:

\(\sigma = \sqrt{6.424} = 2.535\%\)

Годовые параметры:

\(E(R_{\text{annual}}) = 0.0639\% \cdot 252 = 16.10\%\)

\(\sigma_{\text{annual}} = 2.535\% \cdot \sqrt{252} = 40.25\%\)

Расчеты для ОАО «Ростелеком»

Аналогично рассчитаем дневные доходности для ОАО «Ростелеком»:

Теперь рассчитаем ожидаемую дневную доходность:

\(E(R) = \frac{-0.465 + 2.569 + 2.278 + 1.336 - 0.538 + 1.094 - 1.530 + 1.831 - 0.708 - 0.110 + 0.857 + 0.239 - 1.054 - 2.505 - 2.423 + 3.707 + 1.336}{17} = \frac{5.636}{17} = 0.3315\%\)

Дисперсия:

\(\sigma^2 = \frac{(-0.465 - 0.3315)^2 + (2.569 - 0.3315)^2 + \dots + (1.336 - 0.3315)^2}{16} = 2.664\)

Стандартное отклонение:

\(\sigma = \sqrt{2.664} = 1.632\%\)

Годовые параметры:

\(E(R_{\text{annual}}) = 0.3315\% \cdot 252 = 83.54\%\)

\(\sigma_{\text{annual}} = 1.632\% \cdot \sqrt{252} = 25.91\%\)

Вывод

Сравнение годовых параметров:

Вывод: На основе рассчитанных параметров, ОАО «Ростелеком» выглядит как более привлекательная инвестиция в течение рассматриваемого периода, так как имеет значительно более высокую ожидаемую годовую доходность (83.54%) и меньшее годовое стандартное отклонение (25.91%) по сравнению с ОАО «ВТБ» (16.10% и 40.25% соответственно).

Важно: Эти расчеты основаны на исторических данных и не гарантируют будущую доходность.

Ассистент: ## Задание 84

Оценка ковариации, коэффициента корреляции и характеристик портфеля

1. Оценка ковариации доходности акций ОАО «ВТБ» и ОАО «Ростелеком»:

   Ковариация измеряет, как изменяются две переменные вместе. Формула для ковариации:

   \(Cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{n-1}\)

   где:

   • \(X_i\) – доходность акции ОАО «ВТБ» в день i
   • \(Y_i\) – доходность акции ОАО «Ростелеком» в день i
   • \(\bar{X}\) – средняя доходность акции ОАО «ВТБ»
   • \(\bar{Y}\) – средняя доходность акции ОАО «Ростелеком»
   • \(n\) – количество дней (17)

2. Оценка коэффициента корреляции доходности акций ОАО «ВТБ» и ОАО «Ростелеком»:

   Коэффициент корреляции показывает силу и направление линейной связи между двумя переменными. Формула для коэффициента корреляции:

   \(\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}\)

   где:

   • \(Cov(X, Y)\) – ковариация между доходностями акций ОАО «ВТБ» и ОАО «Ростелеком»
   • \(\sigma_X\) – стандартное отклонение доходности акции ОАО «ВТБ»
   • \(\sigma_Y\) – стандартное отклонение доходности акции ОАО «Ростелеком»

3. Оценка ожидаемой дневной доходности инвестиционного портфеля:

   Инвестор приобретает 295 000 акций ОАО «ВТБ» и 330 000 акций ОАО «Ростелеком». Сначала нужно рассчитать доли каждой акции в портфеле. Для этого необходимо знать цены акций на 27.02.15 (последний день в таблице):

   • Цена акции ОАО «ВТБ» на 27.02.15: 0.068 руб.
   • Цена акции ОАО «Ростелеком» на 27.02.15: 91 руб.

   Общая стоимость инвестиций в акции ОАО «ВТБ»:

   \(V_{ВТБ} = 295000 \cdot 0.068 = 20060 \text{ руб.}\)

   Общая стоимость инвестиций в акции ОАО «Ростелеком»:

   \(V_{Ростелеком} = 330000 \cdot 91 = 30030000 \text{ руб.}\)

   Общая стоимость портфеля:

   \(V_{\text{портфеля}} = 20060 + 30030000 = 30050060 \text{ руб.}\)

   Доля акций ОАО «ВТБ» в портфеле:

   \(w_{ВТБ} = \frac{20060}{30050060} = 0.0006675\)

   Доля акций ОАО «Ростелеком» в портфеле:

   \(w_{Ростелеком} = \frac{30030000}{30050060} = 0.9993325\)

   Ожидаемая дневная доходность портфеля:

   \(E(R_{\text{портфеля}}) = w_{ВТБ} \cdot E(R_{ВТБ}) + w_{Ростелеком} \cdot E(R_{Ростелеком})\)

   Используем ожидаемые дневные доходности, рассчитанные в задаче 83:

   • \(E(R_{ВТБ}) = 0.0639\% = 0.000639\)
   • \(E(R_{Ростелеком}) = 0.3315\% = 0.003315\)

   \(E(R_{\text{портфеля}}) = 0.0006675 \cdot 0.000639 + 0.9993325 \cdot 0.003315 = 0.0000004265 + 0.0033128 = 0.0033132265 = 0.3313\%\)

4. Оценка стандартного отклонения дневной доходности инвестиционного портфеля:

   Стандартное отклонение портфеля рассчитывается по формуле:

   \(\sigma_{\text{портфеля}} = \sqrt{w_{ВТБ}^2 \cdot \sigma_{ВТБ}^2 + w_{Ростелеком}^2 \cdot \sigma_{Ростелеком}^2 + 2 \cdot w_{ВТБ} \cdot w_{Ростелеком} \cdot Cov(R_{ВТБ}, R_{Ростелеком})}\)

   Используем стандартные отклонения, рассчитанные в задаче 83:

   • \(\sigma_{ВТБ} = 2.535\% = 0.02535\)
   • \(\sigma_{Ростелеком} = 1.632\% = 0.01632\)

   Сначала рассчитаем дисперсии:

   • \(\sigma_{ВТБ}^2 = 0.02535^2 = 0.0006426\)
   • \(\sigma_{Ростелеком}^2 = 0.01632^2 = 0.0002663\)

   Теперь подставим значения в формулу:

   \(\sigma_{\text{портфеля}} = \sqrt{(0.0006675)^2 \cdot 0.0006426 + (0.9993325)^2 \cdot 0.0002663 + 2 \cdot 0.0006675 \cdot 0.9993325 \cdot Cov(R_{ВТБ}, R_{Ростелеком})}\)

   Для завершения расчета необходимо знать ковариацию между доходностями акций.

Расчет ковариации и коэффициента корреляции

Используя данные из предыдущей задачи (дневные доходности акций ОАО «ВТБ» и ОАО «Ростелеком»), рассчитаем ковариацию и коэффициент корреляции.

\(Cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{n-1}\)

\(Cov(X, Y) = \frac{(-1.196 - 0.0639)(-0.465 - 0.3315) + (1.450 - 0.0639)(2.569 - 0.3315) + \dots + (-3.000 - 0.0639)(1.336 - 0.3315)}{16}\)

После расчета всех значений:

\(Cov(X, Y) = 0.00000554\)

Теперь рассчитаем коэффициент корреляции:

\(\rho(X, Y) = \frac{0.00000554}{0.02535 \cdot 0.01632} = \frac{0.00000554}{0.0004137} = 0.01339\)

Коэффициент корреляции очень близок к нулю, что говорит о слабой линейной связи между доходностями акций.

Завершение расчета стандартного отклонения портфеля

Теперь, когда у нас есть ковариация, мы можем завершить расчет стандартного отклонения портфеля:

\(\sigma_{\text{портфеля}} = \sqrt{(0.0006675)^2 \cdot 0.0006426 + (0.9993325)^2 \cdot 0.0002663 + 2 \cdot 0.0006675 \cdot 0.9993325 \cdot 0.00000554}\)

\(\sigma_{\text{портфеля}} = \sqrt{0.000000000286 + 0.0002661 + 0.00000000739} = \sqrt{0.0002663} = 0.01632 = 1.632\%\)

Ответы:

• Ковариация доходности акций ОАО «ВТБ» и ОАО «Ростелеком»: 0.00000554
• Коэффициент корреляции доходности акций ОАО «ВТБ» и ОАО «Ростелеком»: 0.01339
• Ожидаемая дневная доходность инвестиционного портфеля: 0.3313%
• Стандартное отклонение дневной доходности инвестиционного портфеля: 1.632%