Решение задач на свойства окружности и вписанных углов

Задание 1

В задании представлен тест с тремя пунктами, касающимися свойств окружности и углов, связанных с ней.

а) Если АВ — диаметр, О — центр окружности, то CB = ?

• Объяснение: AB является диаметром, а O — центром окружности. Точка C находится на окружности. Отрезок CB является радиусом окружности. Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

• Правило: Радиус окружности равен половине ее диаметра.

• Ответ: CB = радиус окружности.

б) Если АВ — диаметр, О — центр окружности, то ∠AKC = ?

• Объяснение: Угол ∠AKC является вписанным углом, опирающимся на диаметр AB.

• Правило: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

• Ответ: ∠AKC = 90°.

в) Если АВ — диаметр, О — центр окружности, то ∠ABC = ?

• Объяснение: Угол ∠ABC является вписанным углом. Мы видим на рисунке, что центральный угол ∠AOC равен 30°. Вписанный угол ∠ABC опирается на дугу AC. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен ∠AOC.

• Правило: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

• На рисунке: Показан центральный угол ∠AOC, который, судя по всему, является не тем углом, который нужен для решения. Однако, судя по обозначениям и рисунку, похоже, что угол BOC равен 30°. Если ∠BOC = 30°, то вписанный угол ∠BAC, опирающийся на эту дугу BC, равен 30°/2 = 15°.
  Но вопрос касается ∠ABC. ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Дуга AC составляет часть окружности.
  На рисунке закрашен сектор AOK. Из контекста определения вписанного угла и наличия обозначения 30° у угла BOC, можно предположить, что:

  • Центральный угол ∠BOC = 30°.
  • Вписанный угол ∠BAC опирается на дугу BC и равен 30°/2 = 15°.
  • АВ — диаметр, значит, ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на диаметр, и равен 90°.

  • В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. Поэтому ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB = 180° - 15° - 90° = 75°.

  • Важно: Если предположить, что 30° относится к центральному углу ∠AOC, то вписанный угол ∠ABC, опирающийся на дугу AC, будет равен 30°/2 = 15°.

  • Уточнение по рисунку: На рисунке показан центральный угол ∠BOC = 30°. Следовательно, вписанный угол ∠BAC, опирающийся на дугу BC, равен 15°.
    Угол ∠ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Дуга AC соответствует центральному углу ∠AOC. Так как AB — диаметр, то ∠AOB — развернутый угол (180°).
    ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 180° - 30° = 150°.
    Тогда вписанный угол ∠ABC = ∠AOC / 2 = 150° / 2 = 75°.

• Ответ: ∠ABC = 75°.