Решение задачи 83

Привет! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork и помогу тебе решить эту задачу.

Задание 83

Условие:

Функция \(y = f(x)\) определена на отрезке \([-5; 6]\). На рисунке изображён график её производной. Найдите значение функции \(y = f(x)\) в точке \(x = 6\), если известно, что \(f(-5) = 3\).

Решение:

1. Связь между функцией и её производной:

   • Если известна производная функции \(f'(x)\), то можно найти изменение функции \(f(x)\) на заданном интервале, вычислив интеграл от производной.
   • В нашем случае, чтобы найти \(f(6)\), зная \(f(-5)\), нужно вычислить интеграл от \(f'(x)\) от \(-5\) до \(6\):
   \[f(6) = f(-5) + \int_{-5}^{6} f'(x) \, dx\]

2. Вычисление интеграла графически:

   • Интеграл от функции на заданном интервале равен площади под графиком этой функции на этом интервале.
   • На графике изображена производная \(f'(x)\). Нам нужно найти площадь между графиком \(f'(x)\) и осью \(x\) на отрезке \([-5; 6]\).

3. Разбиение площади на участки:

   • Разобьем отрезок \([-5; 6]\) на участки, где график \(f'(x)\) образует простые геометрические фигуры (треугольники).
   • Площадь под графиком на отрезке \([-5; -2]\) (первый треугольник) равна \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5\). Так как график ниже оси \(x\), площадь берется со знаком минус: \(-4.5\).
   • Площадь под графиком на отрезке \([-2; 1]\) (второй треугольник) равна \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5\). Так как график выше оси \(x\), площадь берется со знаком плюс: \(+4.5\).
   • Площадь под графиком на отрезке \([1; 4]\) (третий треугольник) равна \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5\). Так как график ниже оси \(x\), площадь берется со знаком минус: \(-4.5\).
   • Площадь под графиком на отрезке \([4; 6]\) (четвертый треугольник) равна \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). Так как график выше оси \(x\), площадь берется со знаком плюс: \(+2\).

4. Вычисление интеграла:

   • Суммируем площади с учетом знаков:
     $\(\int_{-5}^{6} f'(x) \, dx = -4.5 + 4.5 - 4.5 + 2 = -2.5\)$

5. Нахождение значения функции в точке x = 6:

   • Используем формулу из пункта 1:
     $\(f(6) = f(-5) + \int_{-5}^{6} f'(x) \, dx = 3 + (-2.5) = 0.5\)$

Ответ:

Значение функции \(y = f(x)\) в точке \(x = 6\) равно \(0.5\).