Привет! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork и помогу тебе решить эту задачу.

Задание 83

Условие:

Функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[-5; 6]$. На рисунке изображён график её производной. Найдите значение функции $y = f(x)$ в точке $x = 6$, если известно, что $f(-5) = 3$.

Решение:

1. Связь между функцией и её производной:

   • Если известна производная функции $f'(x)$, то можно найти изменение функции $f(x)$ на заданном интервале, вычислив интеграл от производной.
   • В нашем случае, чтобы найти $f(6)$, зная $f(-5)$, нужно вычислить интеграл от $f'(x)$ от $-5$ до $6$:

   $$f(6) = f(-5) + \int_{-5}^{6} f'(x) \, dx$$

2. Вычисление интеграла графически:

   • Интеграл от функции на заданном интервале равен площади под графиком этой функции на этом интервале.
   • На графике изображена производная $f'(x)$. Нам нужно найти площадь между графиком $f'(x)$ и осью $x$ на отрезке $[-5; 6]$.

3. Разбиение площади на участки:

   • Разобьем отрезок $[-5; 6]$ на участки, где график $f'(x)$ образует простые геометрические фигуры (треугольники).
   • Площадь под графиком на отрезке $[-5; -2]$ (первый треугольник) равна $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5$. Так как график ниже оси $x$, площадь берется со знаком минус: $-4.5$.
   • Площадь под графиком на отрезке $[-2; 1]$ (второй треугольник) равна $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5$. Так как график выше оси $x$, площадь берется со знаком плюс: $+4.5$.
   • Площадь под графиком на отрезке $[1; 4]$ (третий треугольник) равна $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5$. Так как график ниже оси $x$, площадь берется со знаком минус: $-4.5$.
   • Площадь под графиком на отрезке $[4; 6]$ (четвертый треугольник) равна $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$. Так как график выше оси $x$, площадь берется со знаком плюс: $+2$.

4. Вычисление интеграла:

   • Суммируем площади с учетом знаков:
     $$\int_{-5}^{6} f'(x) \, dx = -4.5 + 4.5 - 4.5 + 2 = -2.5$$

5. Нахождение значения функции в точке x = 6:

   • Используем формулу из пункта 1:
     $$f(6) = f(-5) + \int_{-5}^{6} f'(x) \, dx = 3 + (-2.5) = 0.5$$

Ответ:

Значение функции $y = f(x)$ в точке $x = 6$ равно $0.5$.