Решение тригонометрического уравнения sin(x + 24π) + sin(x - 8π) = 1

Я понял, нужно решить тригонометрическое уравнение.

Задание 1

Решим уравнение \(\sin(x + 24\pi) + \sin(x - 8\pi) = 1\).

1. Упрощение тригонометрических функций:

   • Поскольку синус имеет период \(2\pi\), можно упростить аргументы, убрав кратные \(2\pi\):
     • \(\sin(x + 24\pi) = \sin(x + 12 \cdot 2\pi) = \sin(x)\)
     • \(\sin(x - 8\pi) = \sin(x - 4 \cdot 2\pi) = \sin(x)\)

2. Подстановка в уравнение:

   • Уравнение принимает вид: \(\sin(x) + \sin(x) = 1\)
   • \(2\sin(x) = 1\)

3. Решение уравнения относительно sin(x):

   • \(\sin(x) = \frac{1}{2}\)

4. Нахождение решений для x:

   • \(x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\)
   • Общее решение:
     • \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число
     • \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число

5. Приведение к виду, указанному в задании:

   • \(\frac{\pi}{6} + 2\pi k = \pi(\frac{1}{6} + 2k) = \pi(\frac{1}{6} + \frac{12k}{6}) = \pi(\frac{1+12k}{6}) = \frac{\pi}{6} + \pi(2k)\)
   • \(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k = \pi(\frac{5}{6} + 2k) = \pi(\frac{5}{6} + \frac{12k}{6}) = \pi(\frac{5+12k}{6}) = \frac{5\pi}{6} + \pi(2k)\)

6. Финальные ответы

   • \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\)
   • \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\)

Ответ:
* Первая строка: \(\frac{1}{6} + 2k\)
* Вторая строка: \(\frac{5}{6} + 2k\)

Задание 1

Решим уравнение \(\text{tg } t = 4\).

1. Нахождение общего решения для t:

   • \(t = \arctan(4) + \pi k\), где \(k\) - целое число.

2. Ответ:

   • В первую клетку пишем \(\arctan(4)\).
   • Во вторую клетку пишем \(k\).

Задание 1

Решим уравнение \(\text{ctg } t = 5\).

1. Нахождение общего решения для t:

   • \(t = \text{arcctg}(5) + \pi k\), где \(k\) - целое число.

2. Ответ для первой строки:

   • В первую клетку пишем \(\text{arcctg}(5)\).
   • Во вторую клетку пишем \(k\).

Задание 2

Запишем решение уравнения, если \(k = 4\):
* \(t = \text{arcctg}(5) + 4\pi\)
* Разделим на \(\pi\):
* \(t = \frac{\text{arcctg}(5)}{\pi} + 4\)

3. Ответ для второй строки:
   • В первую клетку пишем \(\frac{\text{arcctg}(5)}{\pi}\).
   • Во вторую клетку пишем \(4\).

Задание 1

Решим уравнение \(\sin t = \frac{9}{10}\).

1. Нахождение общего решения для t:

   • \(t = (-1)^k \arcsin\left(\frac{9}{10}\right) + \pi k\), где \(k\) - целое число.

2. Ответ для первой строки:

   • В первую клетку пишем \(\frac{9}{10}\).

Задание 2

Запишем решение уравнения, если \(k = 2\):

• \(t = (-1)^2 \arcsin\left(\frac{9}{10}\right) + 2\pi\)
• \(t = \arcsin\left(\frac{9}{10}\right) + 2\pi\)
• Чтобы записать в виде \(\arcsin(x) + [число] \cdot \pi\), нужно указать коэффициент перед \(\pi\)

3. Ответ для второй строки:
   • В первую клетку пишем 1.
   • Во вторую клетку пишем \(\frac{9}{10}\).
   • В третью клетку пишем 2.