Нахождение центра тяжести составной фигуры

Выполняю задание для варианта №19.

Согласно таблице, для варианта 19 имеем следующие размеры:
* a = 30 см
* b = 60 см
* r = 1 см

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Нарисовать фигуру в системе координат в соответствии с заданными размерами.
2. Разбить фигуру на простые части.
3. Найти координаты центра тяжести для каждой части.
4. Найти координаты центра тяжести всей фигуры и отметить его на чертеже.

Приступим к решению для рисунка 1.

Для рисунка 1, разобьем фигуру на две простые части: прямоугольник и полукруг.

1. Прямоугольник:

   • Размеры: a = 30 см, r = 1 см (высота прямоугольника)
   • Площадь: \(A_1 = a * r = 30 * 1 = 30 \text{ см}^2\)
   • Координаты центра тяжести:
     • \(x_1 = a/2 = 30/2 = 15 \text{ см}\)
     • \(y_1 = r/2 = 1/2 = 0.5 \text{ см}\)

2. Полукруг:

   • Радиус: r = 1 см
   • Площадь: \(A_2 = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \text{ см}^2\)
   • Координаты центра тяжести (относительно центра полукруга):
     • \(x'_2 = 0 \text{ см}\) (центр полукруга лежит на оси y)
     • \(y'_2 = \frac{4r}{3\pi} = \frac{4 * 1}{3\pi} = \frac{4}{3\pi} \approx 0.42 \text{ см}\)
   • Координаты центра тяжести (относительно начала координат):
     • \(x_2 = a + x'_2 = 30 + 0 = 30 \text{ см}\)
     • \(y_2 = y'_2 + r = 0.42 + 1 = 1.42 \text{ см}\)

Теперь найдем координаты центра тяжести всей фигуры:

\(X_c = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2}{A_1 + A_2} = \frac{30 * 15 + 1.57 * 30}{30 + 1.57} = \frac{450 + 47.1}{31.57} = \frac{497.1}{31.57} \approx 15.75 \text{ см}\)

\(Y_c = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} = \frac{30 * 0.5 + 1.57 * 1.42}{30 + 1.57} = \frac{15 + 2.23}{31.57} = \frac{17.23}{31.57} \approx 0.55 \text{ см}\)

Таким образом, координаты центра тяжести всей фигуры: \((15.75; 0.55)\).