Решение задач по математическому анализу: нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, вычисление скорости и ускорения, интегрирование

Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим эти задания по порядку.

Задание 1

Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(y = 2x^3 - 3x^2 - 12x\) на числовом отрезке \([-2, 0]\).

Решение:

1. Находим производную функции:
   \(y' = 6x^2 - 6x - 12\)

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:
   \(6x^2 - 6x - 12 = 0\)
   \(x^2 - x - 2 = 0\)
   \((x - 2)(x + 1) = 0\)
   \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\)

3. Определяем, какие критические точки принадлежат отрезку \([-2, 0]\):
   \(x = -1\) принадлежит отрезку, а \(x = 2\) - нет.

4. Вычисляем значение функции на концах отрезка и в критической точке:

   • \(y(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) = -16 - 12 + 24 = -4\)
   • \(y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 12(0) = 0\)
   • \(y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7\)

5. Сравниваем полученные значения и определяем наибольшее и наименьшее значения:

   • Наибольшее значение: \(y(-1) = 7\)
   • Наименьшее значение: \(y(-2) = -4\)

Ответ:
Наибольшее значение функции на отрезке \([-2, 0]\) равно 7, наименьшее значение равно -4.

Задание 2

Тело движется прямолинейно по закону \(S(t) = \frac{1}{2}t^4 - t^2\). Найти скорость и ускорение движения тела в конце 3-ей секунды.

Решение:

1. Находим скорость как производную от закона движения:
   \(V(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}t^4 - t^2) = 2t^3 - 2t\)

2. Находим ускорение как производную от скорости:
   \(a(t) = V'(t) = \frac{d}{dt}(2t^3 - 2t) = 6t^2 - 2\)

3. Вычисляем скорость и ускорение в момент времени \(t = 3\):

   • \(V(3) = 2(3)^3 - 2(3) = 2(27) - 6 = 54 - 6 = 48\)
   • \(a(3) = 6(3)^2 - 2 = 6(9) - 2 = 54 - 2 = 52\)

Ответ:
Скорость тела в конце 3-ей секунды равна 48, ускорение равно 52.

Задание 3

Найти интеграл \(\int 6x\sqrt{x^2} + 5dx\)

Решение:

1. Упрощаем выражение под интегралом:
   \(\sqrt{x^2} = |x|\). Предположим, что \(x \geq 0\), тогда \(|x| = x\).
   \(\int (6x \cdot x + 5) dx = \int (6x^2 + 5) dx\)

2. Находим интеграл:
   \(\int (6x^2 + 5) dx = 6 \int x^2 dx + 5 \int dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C = 2x^3 + 5x + C\)

Ответ:
\(\int 6x\sqrt{x^2} + 5dx = 2x^3 + 5x + C\)

Homiwork: Конечно, сейчас я подробно объясню эти темы.

Теория: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(y = f(x)\) на отрезке \([a, b]\), нужно:

1. Найти производную функции: \(f'(x)\).
2. Найти критические точки: Решить уравнение \(f'(x) = 0\). Критические точки - это значения \(x\), при которых производная равна нулю или не существует.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие отрезку \([a, b]\): Если критическая точка не принадлежит отрезку, её не рассматриваем.
4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в выбранных критических точках: \(f(a)\), \(f(b)\) и \(f(x_i)\), где \(x_i\) - критические точки, принадлежащие отрезку.
5. Сравнить полученные значения: Наибольшее из них - наибольшее значение функции на отрезке, наименьшее - наименьшее значение функции на отрезке.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 5\) на отрезке \([-1, 5]\).

1. \(f'(x) = 3x^2 - 12x\)
2. \(3x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 3x(x - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 4\)
3. Обе точки \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 4\) принадлежат отрезку \([-1, 5]\).
4. \(f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 5 = -1 - 6 + 5 = -2\)
   \(f(5) = (5)^3 - 6(5)^2 + 5 = 125 - 150 + 5 = -20\)
   \(f(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 5 = 5\)
   \(f(4) = (4)^3 - 6(4)^2 + 5 = 64 - 96 + 5 = -27\)
5. Наибольшее значение: \(f(0) = 5\)
   Наименьшее значение: \(f(4) = -27\)

Теория: Вычисление скорости и ускорения

Если тело движется прямолинейно и его положение задано функцией \(S(t)\), где \(t\) - время, то:

• Скорость \(V(t)\) - это производная от положения по времени:
  \(V(t) = S'(t) = \frac{dS}{dt}\)
• Ускорение \(a(t)\) - это производная от скорости по времени:
  \(a(t) = V'(t) = \frac{dV}{dt} = S''(t)\)

Пример:

Пусть \(S(t) = 2t^3 - 5t^2 + 4t - 3\). Найти скорость и ускорение в момент времени \(t = 2\).

1. \(V(t) = S'(t) = 6t^2 - 10t + 4\)
2. \(a(t) = V'(t) = 12t - 10\)
3. \(V(2) = 6(2)^2 - 10(2) + 4 = 24 - 20 + 4 = 8\)
4. \(a(2) = 12(2) - 10 = 24 - 10 = 14\)

Теория: Интегрирование

Интегрирование - это процесс нахождения первообразной функции. Первообразная \(F(x)\) функции \(f(x)\) - это такая функция, что \(F'(x) = f(x)\).

• Неопределенный интеграл: \(\int f(x) dx = F(x) + C\), где \(C\) - произвольная константа.

Основные правила интегрирования:

1. \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n \neq -1\)
2. \(\int kf(x) dx = k \int f(x) dx\), где \(k\) - константа
3. \(\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx\)

Пример:

Найти интеграл \(\int (3x^2 + 2x + 1) dx\).

\(\int (3x^2 + 2x + 1) dx = 3 \int x^2 dx + 2 \int x dx + \int 1 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^3 + x^2 + x + C\)

Ассистент: Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим эти задания по порядку.

Задание 1

Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(y = 2x^3 - 3x^2 - 12x\) на числовом отрезке \([-2, 0]\).

Решение:

1. Находим производную функции:
   Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке. Чтобы найти производную, используем правило дифференцирования степенной функции: \((x^n)' = nx^{n-1}\).
   \(y' = (2x^3)' - (3x^2)' - (12x)' = 2(3x^2) - 3(2x) - 12(1) = 6x^2 - 6x - 12\)

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:
   Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В этих точках функция может достигать своего максимума или минимума.
   \(6x^2 - 6x - 12 = 0\)
   Делим обе части уравнения на 6:
   \(x^2 - x - 2 = 0\)
   Решаем квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или дискриминанта. Здесь удобно использовать теорему Виета:
   \((x - 2)(x + 1) = 0\)
   \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\)

3. Определяем, какие критические точки принадлежат отрезку \([-2, 0]\):
   Нам нужно проверить, какие из найденных критических точек лежат в заданном отрезке.
   \(x = -1\) принадлежит отрезку \([-2, 0]\), так как \(-2 \leq -1 \leq 0\).
   \(x = 2\) не принадлежит отрезку \([-2, 0]\), так как \(2 > 0\).

4. Вычисляем значение функции на концах отрезка и в критической точке:
   Теперь нужно вычислить значение функции в точках \(x = -2\), \(x = 0\) и \(x = -1\).

   • \(y(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) = 2(-8) - 3(4) + 24 = -16 - 12 + 24 = -4\)
   • \(y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 12(0) = 0\)
   • \(y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = 2(-1) - 3(1) + 12 = -2 - 3 + 12 = 7\)

5. Сравниваем полученные значения и определяем наибольшее и наименьшее значения:
   Сравниваем значения функции в точках: \(y(-2) = -4\), \(y(0) = 0\), \(y(-1) = 7\).

   • Наибольшее значение: \(y(-1) = 7\)
   • Наименьшее значение: \(y(-2) = -4\)

Ответ:
Наибольшее значение функции на отрезке \([-2, 0]\) равно 7, наименьшее значение равно -4.

Задание 2

Тело движется прямолинейно по закону \(S(t) = \frac{1}{2}t^4 - t^2\). Найти скорость и ускорение движения тела в конце 3-ей секунды.

Решение:

1. Находим скорость как производную от закона движения:
   Скорость - это производная от пути по времени. Используем правило дифференцирования степенной функции: \((t^n)' = nt^{n-1}\).
   \(V(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}t^4 - t^2) = \frac{1}{2}(4t^3) - 2t = 2t^3 - 2t\)

2. Находим ускорение как производную от скорости:
   Ускорение - это производная от скорости по времени.
   \(a(t) = V'(t) = \frac{d}{dt}(2t^3 - 2t) = 2(3t^2) - 2 = 6t^2 - 2\)

3. Вычисляем скорость и ускорение в момент времени \(t = 3\):
   Подставляем \(t = 3\) в выражения для скорости и ускорения.

   • \(V(3) = 2(3)^3 - 2(3) = 2(27) - 6 = 54 - 6 = 48\)
   • \(a(3) = 6(3)^2 - 2 = 6(9) - 2 = 54 - 2 = 52\)

Ответ:
Скорость тела в конце 3-ей секунды равна 48, ускорение равно 52.

Задание 3

Найти интеграл \(\int 6x\sqrt{x^2} + 5dx\)

Решение:

1. Упрощаем выражение под интегралом:
   \(\sqrt{x^2} = |x|\). Предположим, что \(x \geq 0\), тогда \(|x| = x\).
   \(\int (6x \cdot x + 5) dx = \int (6x^2 + 5) dx\)

2. Находим интеграл:
   Используем правила интегрирования: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) и \(\int k dx = kx + C\).
   \(\int (6x^2 + 5) dx = 6 \int x^2 dx + 5 \int dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C = 2x^3 + 5x + C\)

Ответ:
\(\int 6x\sqrt{x^2} + 5dx = 2x^3 + 5x + C\)

Конечно, я продолжу решать задания с подробными объяснениями.

Задание 4

Условие задачи

Вычислить предел:
$\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}\)$

Решение

Для решения этого предела воспользуемся замечательным пределом:
$\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)$

Чтобы применить этот предел, нам нужно привести выражение к виду \(\frac{\sin(чего-то)}{чего-то}\). В нашем случае, у нас есть \(\sin 5x\), поэтому нам нужно, чтобы в знаменателе тоже было \(5x\). Для этого умножим и разделим выражение на 5:

Теперь, когда \(x \to 0\), то и \(5x \to 0\). Поэтому мы можем заменить \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x}\) на 1:

Ответ

Задание 5

Условие задачи

Вычислить предел:
$\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\)$

Решение

Этот предел является вторым замечательным пределом:
$\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)$

Здесь \(e\) — это основание натурального логарифма, приблизительно равное 2.71828.

Ответ

Задание 6

Условие задачи

Вычислить предел:
$\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\)$

Решение

Для решения этого предела воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Когда \(x \to 0\), \(\ln(1+x)\) эквивалентна \(x\). То есть:
$\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x}\)$

Теперь можно сократить \(x\) в числителе и знаменателе:
$\(\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1\)$

Ответ

Ассистент: Конечно, вот теоретические основы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Теоретические основы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

1. Основные определения

• Функция: Функция \(f(x)\) — это правило, которое каждому значению \(x\) из области определения сопоставляет единственное значение \(f(x)\).
• Область определения: Множество всех допустимых значений \(x\), для которых функция определена.
• Отрезок: Замкнутый интервал \([a, b]\), включающий границы \(a\) и \(b\).
• Наибольшее (максимальное) значение функции на отрезке: Значение \(f(x)\), которое является наибольшим для всех \(x\) из отрезка \([a, b]\). Обозначается как \(\max_{x \in [a, b]} f(x)\).
• Наименьшее (минимальное) значение функции на отрезке: Значение \(f(x)\), которое является наименьшим для всех \(x\) из отрезка \([a, b]\). Обозначается как \(\min_{x \in [a, b]} f(x)\).

2. Теорема Вейерштрасса

Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

3. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

1. Найти производную функции: Вычислить \(f'(x)\).
2. Найти критические точки: Решить уравнение \(f'(x) = 0\) и найти точки, где производная не существует. Критические точки — это точки, в которых функция может иметь локальный максимум или минимум.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие отрезку: Из всех найденных критических точек выбрать только те, которые лежат в отрезке \([a, b]\).
4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка: Вычислить \(f(x)\) для всех критических точек, принадлежащих отрезку, а также для точек \(a\) и \(b\).
5. Выбрать наибольшее и наименьшее значения: Среди всех вычисленных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

4. Примеры

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 5\) на отрезке \([-1, 5]\).

1. Найти производную:
   \(f'(x) = 3x^2 - 12x\)
2. Найти критические точки:
   \(3x^2 - 12x = 0\)
   \(3x(x - 4) = 0\)
   \(x = 0\) или \(x = 4\)
3. Выбрать критические точки, принадлежащие отрезку:
   Обе точки \(x = 0\) и \(x = 4\) принадлежат отрезку \([-1, 5]\).
4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка:
   • \(f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 5 = -1 - 6 + 5 = -2\)
   • \(f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 5 = 5\)
   • \(f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 5 = 64 - 96 + 5 = -27\)
   • \(f(5) = 5^3 - 6(5)^2 + 5 = 125 - 150 + 5 = -20\)
5. Выбрать наибольшее и наименьшее значения:
   • Наибольшее значение: \(\max_{x \in [-1, 5]} f(x) = 5\) (достигается в точке \(x = 0\))
   • Наименьшее значение: \(\min_{x \in [-1, 5]} f(x) = -27\) (достигается в точке \(x = 4\))

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^2\) на отрезке \([-2, 3]\).

1. Найти производную:
   \(f'(x) = 2x\)
2. Найти критические точки:
   \(2x = 0\)
   \(x = 0\)
3. Выбрать критические точки, принадлежащие отрезку:
   Точка \(x = 0\) принадлежит отрезку \([-2, 3]\).
4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка:
   • \(f(-2) = (-2)^2 = 4\)
   • \(f(0) = 0^2 = 0\)
   • \(f(3) = 3^2 = 9\)
5. Выбрать наибольшее и наименьшее значения:
   • Наибольшее значение: \(\max_{x \in [-2, 3]} f(x) = 9\) (достигается в точке \(x = 3\))
   • Наименьшее значение: \(\min_{x \in [-2, 3]} f(x) = 0\) (достигается в точке \(x = 0\))

5. Важные замечания

• Если функция не является непрерывной на отрезке, то теорема Вейерштрасса не применима, и наибольшее/наименьшее значения могут не существовать или достигаться в точках разрыва.
• Критические точки, в которых производная не существует (например, точки с вертикальной касательной или угловые точки), также должны быть рассмотрены при поиске наибольшего и наименьшего значений.

Привет! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу тебе с решением задач. Вижу здесь несколько заданий, давай разберем их по порядку.

Задание 1

Вычислить: \(\frac{5}{6} + \frac{7}{12}\)

1. Находим общий знаменатель:

   • Для дробей \(\frac{5}{6}\) и \(\frac{7}{12}\) нужно найти наименьший общий знаменатель (НОЗ).
   • НОЗ(6, 12) = 12.

2. Приводим дроби к общему знаменателю:

   • \(\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}\)
   • \(\frac{7}{12}\) уже имеет нужный знаменатель.

3. Складываем дроби:

   • \(\frac{10}{12} + \frac{7}{12} = \frac{10 + 7}{12} = \frac{17}{12}\)

4. Выделяем целую часть (если возможно):

   • \(\frac{17}{12} = 1 \frac{5}{12}\)

Ответ: \(\frac{17}{12}\) или \(1 \frac{5}{12}\)

Задание 2

Вычислить: \(\frac{8}{9} - \frac{5}{6}\)

1. Находим общий знаменатель:

   • Для дробей \(\frac{8}{9}\) и \(\frac{5}{6}\) нужно найти наименьший общий знаменатель (НОЗ).
   • НОЗ(9, 6) = 18.

2. Приводим дроби к общему знаменателю:

   • \(\frac{8}{9} = \frac{8 \times 2}{9 \times 2} = \frac{16}{18}\)
   • \(\frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}\)

3. Вычитаем дроби:

   • \(\frac{16}{18} - \frac{15}{18} = \frac{16 - 15}{18} = \frac{1}{18}\)

Ответ: \(\frac{1}{18}\)

Задание 3

Вычислить: \(5 \frac{7}{8} - 2 \frac{1}{4}\)

1. Представляем смешанные числа в виде неправильных дробей:

   • \(5 \frac{7}{8} = \frac{5 \times 8 + 7}{8} = \frac{40 + 7}{8} = \frac{47}{8}\)
   • \(2 \frac{1}{4} = \frac{2 \times 4 + 1}{4} = \frac{8 + 1}{4} = \frac{9}{4}\)

2. Находим общий знаменатель:

   • Для дробей \(\frac{47}{8}\) и \(\frac{9}{4}\) нужно найти наименьший общий знаменатель (НОЗ).
   • НОЗ(8, 4) = 8.

3. Приводим дроби к общему знаменателю:

   • \(\frac{47}{8}\) уже имеет нужный знаменатель.
   • \(\frac{9}{4} = \frac{9 \times 2}{4 \times 2} = \frac{18}{8}\)

4. Вычитаем дроби:

   • \(\frac{47}{8} - \frac{18}{8} = \frac{47 - 18}{8} = \frac{29}{8}\)

5. Выделяем целую часть (если возможно):

   • \(\frac{29}{8} = 3 \frac{5}{8}\)

Ответ: \(\frac{29}{8}\) или \(3 \frac{5}{8}\)

Ассистент: Хорошо, продолжим решать задачи по порядку.

Задание 4

Вычислить: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}\)

1. Умножаем числители и знаменатели:

   • \(\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36}\)

2. Сокращаем дробь:

   • Находим наибольший общий делитель (НОД) для 24 и 36. НОД(24, 36) = 12.
   • Делим числитель и знаменатель на 12:
     • \(\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}\)

Ответ: \(\frac{2}{3}\)

Задание 5

Вычислить: \(\frac{4}{15} : \frac{2}{3}\)

1. Заменяем деление умножением на обратную дробь:

   • \(\frac{4}{15} : \frac{2}{3} = \frac{4}{15} \cdot \frac{3}{2}\)

2. Умножаем числители и знаменатели:

   • \(\frac{4}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \times 3}{15 \times 2} = \frac{12}{30}\)

3. Сокращаем дробь:

   • Находим наибольший общий делитель (НОД) для 12 и 30. НОД(12, 30) = 6.
   • Делим числитель и знаменатель на 6:
     • \(\frac{12}{30} = \frac{12 \div 6}{30 \div 6} = \frac{2}{5}\)

Ответ: \(\frac{2}{5}\)

Задание 6

Вычислить: \(2 \frac{1}{7} : 1 \frac{11}{14}\)

1. Представляем смешанные числа в виде неправильных дробей:

   • \(2 \frac{1}{7} = \frac{2 \times 7 + 1}{7} = \frac{14 + 1}{7} = \frac{15}{7}\)
   • \(1 \frac{11}{14} = \frac{1 \times 14 + 11}{14} = \frac{14 + 11}{14} = \frac{25}{14}\)

2. Заменяем деление умножением на обратную дробь:

   • \(\frac{15}{7} : \frac{25}{14} = \frac{15}{7} \cdot \frac{14}{25}\)

3. Умножаем числители и знаменатели:

   • \(\frac{15}{7} \cdot \frac{14}{25} = \frac{15 \times 14}{7 \times 25} = \frac{210}{175}\)

4. Сокращаем дробь:

   • Находим наибольший общий делитель (НОД) для 210 и 175. НОД(210, 175) = 35.
   • Делим числитель и знаменатель на 35:
     • \(\frac{210}{175} = \frac{210 \div 35}{175 \div 35} = \frac{6}{5}\)

5. Выделяем целую часть (если возможно):

   • \(\frac{6}{5} = 1 \frac{1}{5}\)

Ответ: \(\frac{6}{5}\) или \(1 \frac{1}{5}\)

Ассистент: Отлично, давай продолжим решать оставшиеся задачи.

Задание 7

Вычислить: \((\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot \frac{6}{7}\)

1. Складываем дроби в скобках:

   • \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}\)

2. Умножаем результат на дробь \(\frac{6}{7}\):

   • \(\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} = \frac{5 \times 6}{6 \times 7} = \frac{30}{42}\)

3. Сокращаем дробь:

   • Находим наибольший общий делитель (НОД) для 30 и 42. НОД(30, 42) = 6.
   • Делим числитель и знаменатель на 6:
     • \(\frac{30}{42} = \frac{30 \div 6}{42 \div 6} = \frac{5}{7}\)

Ответ: \(\frac{5}{7}\)

Задание 8

Вычислить: \(\frac{9}{16} : (\frac{3}{4} - \frac{1}{2})\)

1. Вычитаем дроби в скобках:

   • \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3 - 2}{4} = \frac{1}{4}\)

2. Делим дробь \(\frac{9}{16}\) на результат:

   • \(\frac{9}{16} : \frac{1}{4} = \frac{9}{16} \cdot \frac{4}{1} = \frac{9 \times 4}{16 \times 1} = \frac{36}{16}\)

3. Сокращаем дробь:

   • Находим наибольший общий делитель (НОД) для 36 и 16. НОД(36, 16) = 4.
   • Делим числитель и знаменатель на 4:
     • \(\frac{36}{16} = \frac{36 \div 4}{16 \div 4} = \frac{9}{4}\)

4. Выделяем целую часть (если возможно):

   • \(\frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}\)

Ответ: \(\frac{9}{4}\) или \(2 \frac{1}{4}\)

Задание 9

Вычислить: \(3 \frac{3}{5} + 1 \frac{1}{8} \cdot 4\)

1. Представляем смешанное число в виде неправильной дроби:

   • \(3 \frac{3}{5} = \frac{3 \times 5 + 3}{5} = \frac{15 + 3}{5} = \frac{18}{5}\)
   • \(1 \frac{1}{8} = \frac{1 \times 8 + 1}{8} = \frac{8 + 1}{8} = \frac{9}{8}\)

2. Умножаем дробь \(1 \frac{1}{8}\) на 4:

   • \(\frac{9}{8} \cdot 4 = \frac{9 \times 4}{8} = \frac{36}{8}\)

3. Сокращаем дробь \(\frac{36}{8}\):

   • \(\frac{36}{8} = \frac{36 \div 4}{8 \div 4} = \frac{9}{2}\)

4. Складываем результаты:

   • \(\frac{18}{5} + \frac{9}{2} = \frac{18 \times 2}{5 \times 2} + \frac{9 \times 5}{2 \times 5} = \frac{36}{10} + \frac{45}{10} = \frac{36 + 45}{10} = \frac{81}{10}\)

5. Выделяем целую часть (если возможно):

   • \(\frac{81}{10} = 8 \frac{1}{10}\)

Ответ: \(\frac{81}{10}\) или \(8 \frac{1}{10}\)

Все задания решены! Если у тебя есть еще вопросы, я готов помочь.

Ассистент: К сожалению, в предоставленных задачах нет интегралов. Если хочешь, я могу объяснить основные правила интегрирования, привести примеры и таблицу интегралов, но это будет другая тема.

Ассистент: Кажется, мы уже решили все задания с фотографии. Если у тебя есть другие задания или вопросы, пожалуйста, предоставь их!