Теория и задачи по трапециям для подготовки к ОГЭ

Name: Homiwork
Author: Homiwork

Привет! Сейчас я помогу тебе решить эти задания.

Задание 1 (1 вариант)

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна \(50^\circ\). Найдите больший угол трапеции.

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Пусть дана равнобедренная трапеция \(ABCD\), где \(AB \parallel CD\) и \(AD = BC\). Тогда \(\angle A = \angle B\) и \(\angle C = \angle D\). Также, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\), то есть \(\angle A + \angle D = 180^\circ\) и \(\angle B + \angle C = 180^\circ\).

По условию, сумма двух углов равна \(50^\circ\). Это могут быть либо два угла при одном основании, либо два угла при разных основаниях.

Если это два угла при одном основании, то есть \(\angle A + \angle B = 50^\circ\). Так как \(\angle A = \angle B\), то \(2\angle A = 50^\circ\), следовательно, \(\angle A = 25^\circ\). Тогда \(\angle D = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ\). Больший угол равен \(155^\circ\).
Если это два угла при разных основаниях, то есть \(\angle A + \angle C = 50^\circ\). Тогда \(\angle C = 50^\circ - \angle A\). Но \(\angle A + \angle D = 180^\circ\), и \(\angle C = \angle D\), следовательно, \(\angle A + \angle C = \angle A + \angle D = 180^\circ\), что противоречит условию \(\angle A + \angle C = 50^\circ\).

Таким образом, больший угол трапеции равен \(155^\circ\).

Ответ: C) \(155^\circ\)

Задание 2 (1 вариант)

Основания трапеции относятся как \(4:5\), а средняя линия равна \(9\). Найдите меньшее основание.

Пусть основания трапеции \(a\) и \(b\), где \(a < b\). Тогда \(\frac{a}{b} = \frac{4}{5}\), и средняя линия \(m = \frac{a+b}{2} = 9\).
Выразим \(a\) через \(b\): \(a = \frac{4}{5}b\).
Подставим в формулу для средней линии:
\(\frac{\frac{4}{5}b + b}{2} = 9\)
\(\frac{\frac{9}{5}b}{2} = 9\)
\(\frac{9}{10}b = 9\)
\(b = 10\)
Тогда \(a = \frac{4}{5} \cdot 10 = 8\).

Меньшее основание равно \(8\).

Ответ: A) \(8\)

Задание 3 (1 вариант)

Средняя линия трапеции равна \(11\), а одно из ее оснований больше другого на \(2\). Найдите большее основание трапеции.

Пусть основания трапеции \(a\) и \(b\), где \(b > a\). Тогда \(b = a + 2\), и средняя линия \(m = \frac{a+b}{2} = 11\).
Подставим \(b = a + 2\) в формулу для средней линии:
\(\frac{a + (a+2)}{2} = 11\)
\(\frac{2a + 2}{2} = 11\)
\(a + 1 = 11\)
\(a = 10\)
Тогда \(b = a + 2 = 10 + 2 = 12\).

Большее основание равно \(12\).

Ответ: B) \(12\)

1 Объяснить подробнее 1 Показать теорию

Объясни теоретические основы трапеций: дай определения, формулы, свойства и примеры применения

Ассистент: Конечно, вот подробная информация о трапециях!

Теоретические основы трапеций

Определение

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми сторонами.

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны.
Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой один из углов прямой (равен \(90^\circ\)).

Элементы трапеции

Основания — параллельные стороны трапеции (\(a\) и \(b\)).
Боковые стороны — непараллельные стороны трапеции (\(c\) и \(d\)).
Высота — перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое основание (\(h\)).
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (\(m\)).

Свойства и формулы

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\):
- \(\angle A + \angle D = 180^\circ\)
- \(\angle B + \angle C = 180^\circ\)
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
- \(m = \frac{a+b}{2}\)
Свойства равнобедренной трапеции:
- Углы при каждом основании равны: \(\angle A = \angle B\) и \(\angle C = \angle D\).
- Диагонали равны.

Примеры

Задача: Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Известно, что \(\angle A = 60^\circ\) и \(\angle D = 120^\circ\). Найдите углы \(\angle B\) и \(\angle C\).

Решение:
Так как \(\angle A + \angle D = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ\), то \(\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) и \(\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
Задача: Дана трапеция с основаниями \(a = 5\) и \(b = 7\). Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:
\(m = \frac{a+b}{2} = \frac{5+7}{2} = \frac{12}{2} = 6\).

Варианты продолжения:

1 Продолжить решение 1 Домашнее задание

Продолжи решать все оставшиеся задания с фото, которые еще не были решены, дай подробные объяснения

Ассистент: Конечно, продолжим решать задания!

Задание 4 (1 вариант)

Периметр трапеции равен \(112\), а сумма непараллельных сторон равна \(70\). Найдите среднюю линию трапеции.

Периметр трапеции \(P\) равен сумме всех её сторон: \(P = a + b + c + d\), где \(a\) и \(b\) — основания, \(c\) и \(d\) — боковые стороны.
Средняя линия трапеции \(m = \frac{a+b}{2}\).
По условию, \(P = 112\) и \(c + d = 70\).
Тогда \(a + b + c + d = 112\), следовательно, \(a + b + 70 = 112\), откуда \(a + b = 112 - 70 = 42\).
Средняя линия \(m = \frac{a+b}{2} = \frac{42}{2} = 21\).

Ответ: B) \(21\)

Задание 5 (1 вариант)

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна \(346^\circ\). Найдите меньший угол трапеции.

По условию, сумма двух углов равна \(346^\circ\). Это могут быть либо два угла при одном основании, либо два угла при разных основаниях.

Если это два угла при одном основании, то есть \(\angle A + \angle B = 346^\circ\). Так как \(\angle A = \angle B\), то \(2\angle A = 346^\circ\), следовательно, \(\angle A = 173^\circ\). Тогда \(\angle D = 180^\circ - 173^\circ = 7^\circ\). Меньший угол равен \(7^\circ\).
Если это два угла при разных основаниях, то есть \(\angle A + \angle C = 346^\circ\). Тогда \(\angle C = 346^\circ - \angle A\). Но \(\angle A + \angle D = 180^\circ\), и \(\angle C = \angle D\), следовательно, \(\angle A + \angle C = \angle A + \angle D = 180^\circ\), что противоречит условию \(\angle A + \angle C = 346^\circ\).

Таким образом, меньший угол трапеции равен \(7^\circ\).

Ответ: A) \(7^\circ\)

Задание 1 (2 вариант)

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна \(40^\circ\). Найдите больший угол трапеции.

По условию, сумма двух углов равна \(40^\circ\). Это могут быть либо два угла при одном основании, либо два угла при разных основаниях.

Если это два угла при одном основании, то есть \(\angle A + \angle B = 40^\circ\). Так как \(\angle A = \angle B\), то \(2\angle A = 40^\circ\), следовательно, \(\angle A = 20^\circ\). Тогда \(\angle D = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ\). Больший угол равен \(160^\circ\).
Если это два угла при разных основаниях, то есть \(\angle A + \angle C = 40^\circ\). Тогда \(\angle C = 40^\circ - \angle A\). Но \(\angle A + \angle D = 180^\circ\), и \(\angle C = \angle D\), следовательно, \(\angle A + \angle C = \angle A + \angle D = 180^\circ\), что противоречит условию \(\angle A + \angle C = 40^\circ\).