Решение тригонометрического уравнения: sin(3x) + sin(x) / cos(x) = 0

Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение.

Задание 1

Решить уравнение:

\(\frac{sin3x + sinx}{cosx} = 0\)

Решение:

1. Определим ОДЗ (область допустимых значений):

   Знаменатель не должен быть равен нулю:
   \(cosx \neq 0\)
   \(x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k \in Z\)

2. Приравняем числитель к нулю:

   \(sin3x + sinx = 0\)

3. Используем формулу суммы синусов:

   \(sinA + sinB = 2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})\)

   В нашем случае:
   \(2sin(\frac{3x+x}{2})cos(\frac{3x-x}{2}) = 0\)
   \(2sin(2x)cos(x) = 0\)

4. Разложим на два уравнения:

   • \(sin(2x) = 0\)
   • \(cos(x) = 0\)

5. Решим первое уравнение:

   \(sin(2x) = 0\)
   \(2x = \pi n\), где \(n \in Z\)
   \(x = \frac{\pi n}{2}\), где \(n \in Z\)

6. Решим второе уравнение:

   \(cos(x) = 0\)
   \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k \in Z\)

7. Учтем ОДЗ:

   Мы исключили \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\) из ОДЗ, поэтому эти решения не подходят.

8. Проанализируем решения \(x = \frac{\pi n}{2}\):

   • При \(n = 2k+1\), \(x = \frac{\pi (2k+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k\), что не подходит из-за ОДЗ.
   • При \(n = 2k\), \(x = \frac{\pi (2k)}{2} = \pi k\), где \(k \in Z\).

Ответ:

\(x = \pi k\), где \(k \in Z\)