Решение задач по аналитической геометрии: уравнения прямых в пространстве

Здравствуйте! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Готов помочь вам с решением задач.

Задание 1

Составить уравнение прямой, проходящей через точки \(A(1; -2; 3)\) и \(B(4; 1; 5)\).

Решение:

1. Находим направляющий вектор прямой:
   \(\vec{AB} = B - A = (4-1; 1-(-2); 5-3) = (3; 3; 2)\)

2. Записываем каноническое уравнение прямой:
   \(\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}\), где \((x_0; y_0; z_0)\) - координаты точки на прямой, а \((l; m; n)\) - координаты направляющего вектора.

   Используем точку \(A(1; -2; 3)\) и вектор \(\vec{AB} = (3; 3; 2)\):
   \(\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{2}\)

Ответ: \(\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{2}\)

Задание 2

Составить уравнение прямой, проходящей через точку \(A(1; 2; 3)\) и вектор \(\vec{n}(4; 5; 6)\).

Решение:

1. Используем каноническое уравнение прямой:
   \(\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}\), где \((x_0; y_0; z_0)\) - координаты точки на прямой, а \((l; m; n)\) - координаты направляющего вектора.

   В данном случае, \((x_0; y_0; z_0) = (1; 2; 3)\) и \((l; m; n) = (4; 5; 6)\).

2. Подставляем значения в уравнение:
   \(\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{6}\)

Ответ: \(\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{6}\)

Задание 3

Составить уравнение параллельных прямых на основе координат точек \(A(3; 2; 4)\) и \(B(5; 3; 1)\).

Решение:

1. Находим направляющий вектор прямой:
   \(\vec{AB} = B - A = (5-3; 3-2; 1-4) = (2; 1; -3)\)

2. Записываем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A:
   \(\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{-3}\)

3. Уравнение параллельной прямой будет иметь тот же направляющий вектор, но может проходить через другую точку. Так как в задании не указана конкретная точка для второй прямой, можно оставить направляющий вектор таким же, а точку не указывать.

Ответ: \(\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{-3}\)