Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу тебе с этими заданиями.

Задание 1

Найти производную функции $y = \ln(x^4 + 5)$.

Решение:
1. Используем правило производной сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
2. В данном случае, $f(u) = \ln(u)$ и $g(x) = x^4 + 5$.
3. Находим производные: $f'(u) = \frac{1}{u}$ и $g'(x) = 4x^3$.
4. Подставляем в формулу: $y' = \frac{1}{x^4 + 5} \cdot 4x^3$.

Ответ:
$y' = \frac{4x^3}{x^4 + 5}$

Задание 2

Найти производную функции $y = 3x^2 \cdot e^{4x} + 6\sqrt{x}$.

Решение:
1. Используем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
2. Для первого слагаемого: $u = 3x^2$ и $v = e^{4x}$.
3. Находим производные: $u' = 6x$ и $v' = 4e^{4x}$.
4. Производная первого слагаемого: $(3x^2 \cdot e^{4x})' = 6x \cdot e^{4x} + 3x^2 \cdot 4e^{4x} = 6xe^{4x} + 12x^2e^{4x}$.
5. Производная второго слагаемого: $(6\sqrt{x})' = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}}$.
6. Складываем производные: $y' = 6xe^{4x} + 12x^2e^{4x} + \frac{3}{\sqrt{x}}$.

Ответ:
$y' = 6xe^{4x} + 12x^2e^{4x} + \frac{3}{\sqrt{x}}$

Задание 3

Найти производную функции $y = \sin(2x) \cdot 4^{3x+1}$.

Решение:
1. Используем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
2. В данном случае, $u = \sin(2x)$ и $v = 4^{3x+1}$.
3. Находим производные: $u' = 2\cos(2x)$ и $v' = 4^{3x+1} \cdot \ln(4) \cdot 3$.
4. Подставляем в формулу: $y' = 2\cos(2x) \cdot 4^{3x+1} + \sin(2x) \cdot 4^{3x+1} \cdot \ln(4) \cdot 3$.

Ответ:
$y' = 2\cos(2x) \cdot 4^{3x+1} + 3\ln(4) \cdot \sin(2x) \cdot 4^{3x+1}$