Нахождение производных сложных функций: решение и объяснения

Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу тебе с этими заданиями.

Задание 1

Найти производную функции \(y = \ln(x^4 + 5)\).

Решение:
1. Используем правило производной сложной функции: \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\).
2. В данном случае, \(f(u) = \ln(u)\) и \(g(x) = x^4 + 5\).
3. Находим производные: \(f'(u) = \frac{1}{u}\) и \(g'(x) = 4x^3\).
4. Подставляем в формулу: \(y' = \frac{1}{x^4 + 5} \cdot 4x^3\).

Ответ:
\(y' = \frac{4x^3}{x^4 + 5}\)

Задание 2

Найти производную функции \(y = 3x^2 \cdot e^{4x} + 6\sqrt{x}\).

Решение:
1. Используем правило производной произведения: \((uv)' = u'v + uv'\).
2. Для первого слагаемого: \(u = 3x^2\) и \(v = e^{4x}\).
3. Находим производные: \(u' = 6x\) и \(v' = 4e^{4x}\).
4. Производная первого слагаемого: \((3x^2 \cdot e^{4x})' = 6x \cdot e^{4x} + 3x^2 \cdot 4e^{4x} = 6xe^{4x} + 12x^2e^{4x}\).
5. Производная второго слагаемого: \((6\sqrt{x})' = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}}\).
6. Складываем производные: \(y' = 6xe^{4x} + 12x^2e^{4x} + \frac{3}{\sqrt{x}}\).

Ответ:
\(y' = 6xe^{4x} + 12x^2e^{4x} + \frac{3}{\sqrt{x}}\)

Задание 3

Найти производную функции \(y = \sin(2x) \cdot 4^{3x+1}\).

Решение:
1. Используем правило производной произведения: \((uv)' = u'v + uv'\).
2. В данном случае, \(u = \sin(2x)\) и \(v = 4^{3x+1}\).
3. Находим производные: \(u' = 2\cos(2x)\) и \(v' = 4^{3x+1} \cdot \ln(4) \cdot 3\).
4. Подставляем в формулу: \(y' = 2\cos(2x) \cdot 4^{3x+1} + \sin(2x) \cdot 4^{3x+1} \cdot \ln(4) \cdot 3\).

Ответ:
\(y' = 2\cos(2x) \cdot 4^{3x+1} + 3\ln(4) \cdot \sin(2x) \cdot 4^{3x+1}\)