Привет! Давай решим систему уравнений методом Гаусса.

Задание 1

Дана система уравнений:
$$\begin{cases}
x - y + 3z = 0 \
5x + y - z = 0 \
3x + z = 0
\end{cases}$$

Решение:

1. Запишем расширенную матрицу системы:

   $\begin{pmatrix}
   1 & -1 & 3 & 0 \
   5 & 1 & -1 & 0 \
   3 & 0 & 1 & 0
   \end{pmatrix}$

2. Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

   • Вычтем из второй строки первую, умноженную на 5: $R_2 \rightarrow R_2 - 5R_1$
     $\begin{pmatrix}
     1 & -1 & 3 & 0 \
     0 & 6 & -16 & 0 \
     3 & 0 & 1 & 0
     \end{pmatrix}$

   • Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 3: $R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$
     $\begin{pmatrix}
     1 & -1 & 3 & 0 \
     0 & 6 & -16 & 0 \
     0 & 3 & -8 & 0
     \end{pmatrix}$

   • Вычтем из второй строки третью, умноженную на 2: $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_3$
     $\begin{pmatrix}
     1 & -1 & 3 & 0 \
     0 & 0 & 0 & 0 \
     0 & 3 & -8 & 0
     \end{pmatrix}$

   • Поменяем местами вторую и третью строки: $R_2 \leftrightarrow R_3$
     $\begin{pmatrix}
     1 & -1 & 3 & 0 \
     0 & 3 & -8 & 0 \
     0 & 0 & 0 & 0
     \end{pmatrix}$

3. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной матрице:

   $$\begin{cases}
   x - y + 3z = 0 \
   3y - 8z = 0
   \end{cases}$$

4. Выразим y через z из второго уравнения:

   $3y = 8z \Rightarrow y = \frac{8}{3}z$

5. Подставим выражение для y в первое уравнение:

   $x - \frac{8}{3}z + 3z = 0$
   $x = \frac{8}{3}z - 3z = \frac{8}{3}z - \frac{9}{3}z = -\frac{1}{3}z$

6. Запишем общее решение системы:

   $x = -\frac{1}{3}z$, $y = \frac{8}{3}z$, где $z$ - любое число.

Ответ:

Общее решение системы: $(-\frac{1}{3}z, \frac{8}{3}z, z)$, где $z \in \mathbb{R}$.