Решение системы уравнений методом Гаусса
Привет! Давай решим систему уравнений методом Гаусса.
Задание 1
Дана система уравнений:
$\(\begin{cases}
x - y + 3z = 0 \\
5x + y - z = 0 \\
3x + z = 0
\end{cases}\)$
Решение:
-
Запишем расширенную матрицу системы:
\(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 \\ 5 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)
-
Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
-
Вычтем из второй строки первую, умноженную на 5: \(R_2 \rightarrow R_2 - 5R_1\)
\(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & -16 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) -
Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 3: \(R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1\)
\(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & -16 & 0 \\ 0 & 3 & -8 & 0 \end{pmatrix}\) -
Вычтем из второй строки третью, умноженную на 2: \(R_2 \rightarrow R_2 - 2R_3\)
\(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -8 & 0 \end{pmatrix}\) -
Поменяем местами вторую и третью строки: \(R_2 \leftrightarrow R_3\)
\(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
-
-
Запишем систему уравнений, соответствующую полученной матрице:
\[\begin{cases} x - y + 3z = 0 \\ 3y - 8z = 0 \end{cases}\] -
Выразим y через z из второго уравнения:
\(3y = 8z \Rightarrow y = \frac{8}{3}z\)
-
Подставим выражение для y в первое уравнение:
\(x - \frac{8}{3}z + 3z = 0\)
\(x = \frac{8}{3}z - 3z = \frac{8}{3}z - \frac{9}{3}z = -\frac{1}{3}z\) -
Запишем общее решение системы:
\(x = -\frac{1}{3}z\), \(y = \frac{8}{3}z\), где \(z\) - любое число.
Ответ:
Общее решение системы: \((-\frac{1}{3}z, \frac{8}{3}z, z)\), где \(z \in \mathbb{R}\).
