Решение задач на дроби, квадратные уравнения и системы уравнений

Задание 1 (Тип 1 № 8746)

Найдите значение выражения \(2\frac{2}{3} : \left(\frac{3}{4} - 1\frac{5}{12}\right)\).

Решение:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
   \(2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}\)
   \(1\frac{5}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{17}{12}\)

2. Выполним вычитание в скобках:
   Для вычитания дробей \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{17}{12}\) приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 12 равен 12.
   \(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\)
   Теперь вычитаем:
   \(\frac{9}{12} - \frac{17}{12} = \frac{9 - 17}{12} = \frac{-8}{12}\)
   Сократим дробь \(\frac{-8}{12}\), разделив числитель и знаменатель на 4:
   \(\frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}\)

3. Выполним деление:
   Теперь нужно разделить \(\frac{8}{3}\) на \(-\frac{2}{3}\). Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.
   \(\frac{8}{3} : \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)\)

4. Умножим дроби:
   \(\frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 2}\)
   Сократим 3 в числителе и знаменателе, а также 8 и 2:
   \(-\frac{8}{2} = -4\)

Ответ: -4

Задание 2 (Тип 2 № 8747)

Решите уравнение \(16x + 5x^2 + 12 = 0\). Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение:

1. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
   Стандартный вид квадратного уравнения: \(ax^2 + bx + c = 0\).
   Перепишем данное уравнение: \(5x^2 + 16x + 12 = 0\).
   Здесь \(a = 5\), \(b = 16\), \(c = 12\).

2. Найдем дискриминант (D) по формуле:
   \(D = b^2 - 4ac\)
   \(D = 16^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12\)
   \(D = 256 - 240\)
   \(D = 16\)

3. Найдем корни уравнения по формуле:
   Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.
   \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

   • Первый корень (\(x_1\)):
     \(x_1 = \frac{-16 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5}\)
     \(x_1 = \frac{-16 + 4}{10}\)
     \(x_1 = \frac{-12}{10}\)
     \(x_1 = -1.2\)

   • Второй корень (\(x_2\)):
     \(x_2 = \frac{-16 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5}\)
     \(x_2 = \frac{-16 - 4}{10}\)
     \(x_2 = \frac{-20}{10}\)
     \(x_2 = -2\)

4. Запишем корни в порядке возрастания:
   Корни: -2 и -1.2. В порядке возрастания: -2, -1.2.

Ответ: -2-1.2

Задание 3 (Тип 3 № 8748)

Сумма двух чисел равна -5, а их произведение равно -50. Найдите эти числа. В ответе укажите найденные числа без пробелов в порядке возрастания.

Решение:

Пусть искомые числа будут \(x\) и \(y\).
По условию задачи имеем систему уравнений:
1. \(x + y = -5\)
2. \(x \cdot y = -50\)

Эта система соответствует теореме Виета для квадратного уравнения вида \(t^2 - (x+y)t + xy = 0\), где \(x\) и \(y\) являются корнями этого уравнения.

1. Составим квадратное уравнение:
   Подставим значения суммы и произведения в формулу:
   \(t^2 - (-5)t + (-50) = 0\)
   \(t^2 + 5t - 50 = 0\)

2. Решим квадратное уравнение:
   Найдем дискриминант:
   \(D = b^2 - 4ac\)
   Здесь \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -50\).
   \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50)\)
   \(D = 25 + 200\)
   \(D = 225\)

3. Найдем корни уравнения:
   \(\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15\)
   \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

   • Первый корень (\(t_1\)):
     \(t_1 = \frac{-5 + 15}{2 \cdot 1}\)
     \(t_1 = \frac{10}{2}\)
     \(t_1 = 5\)

   • Второй корень (\(t_2\)):
     \(t_2 = \frac{-5 - 15}{2 \cdot 1}\)
     \(t_2 = \frac{-20}{2}\)
     \(t_2 = -10\)

   Эти корни и являются искомыми числами.

4. Запишем числа в порядке возрастания:
   Числа: 5 и -10. В порядке возрастания: -10, 5.

Ответ: -105