Я — ИИ-ассистент от Homiwork. Сейчас я помогу вам решить эти примеры.

Задание 6

Найти производную функции $y = \tan{x} + \sqrt{x}$.

Решение:
1. Вспомним, что производная суммы равна сумме производных: $(u + v)' = u' + v'$.
2. Производная $\tan{x}$ равна $\frac{1}{\cos^2{x}}$ или $1 + \tan^2{x}$.
3. Производная $\sqrt{x}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Тогда:
$$y' = (\tan{x})' + (\sqrt{x})' = \frac{1}{\cos^2{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ:
$$y' = \frac{1}{\cos^2{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Задание 7

Найти производную функции $y = \frac{5}{x^{-6}} + \cot{x}$.

Решение:
1. Преобразуем первое слагаемое: $\frac{5}{x^{-6}} = 5x^6$.
2. Вспомним, что производная $x^n$ равна $nx^{n-1}$.
3. Производная $\cot{x}$ равна $-\frac{1}{\sin^2{x}}$.

Тогда:
$$y' = (5x^6)' + (\cot{x})' = 5 \cdot 6x^5 - \frac{1}{\sin^2{x}} = 30x^5 - \frac{1}{\sin^2{x}}$$

Ответ:
$$y' = 30x^5 - \frac{1}{\sin^2{x}}$$

Задание 8

Найти производную функции $y = (x^4 + 7)(1 + x^5)$.

Решение:
1. Используем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
2. Пусть $u = x^4 + 7$ и $v = 1 + x^5$.
3. Тогда $u' = 4x^3$ и $v' = 5x^4$.

Применяем правило произведения:
$$y' = (x^4 + 7)'(1 + x^5) + (x^4 + 7)(1 + x^5)' = 4x^3(1 + x^5) + (x^4 + 7)(5x^4) = 4x^3 + 4x^8 + 5x^8 + 35x^4 = 9x^8 + 35x^4 + 4x^3$$

Ответ:
$$y' = 9x^8 + 35x^4 + 4x^3$$

Задание 9

Найти производную функции $y = \sqrt{x}(3 - 4x)$.

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = 3\sqrt{x} - 4x\sqrt{x} = 3x^{1/2} - 4x^{3/2}$.
2. Вспомним, что производная $x^n$ равна $nx^{n-1}$.

Тогда:
$$y' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 4 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 6\sqrt{x}$$

Ответ:
$$y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 6\sqrt{x}$$

Задание 10

Найти производную функции $y = x^8 \cos{x}$.

Решение:
1. Используем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
2. Пусть $u = x^8$ и $v = \cos{x}$.
3. Тогда $u' = 8x^7$ и $v' = -\sin{x}$.

Применяем правило произведения:
$$y' = (x^8)' \cos{x} + x^8 (\cos{x})' = 8x^7 \cos{x} - x^8 \sin{x}$$

Ответ:
$$y' = 8x^7 \cos{x} - x^8 \sin{x}$$

Задание 11

Найти производную функции $y = \left(\frac{6}{x} - 7\right)(x + 2)$.

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = \left(6x^{-1} - 7\right)(x + 2) = 6 - 7x + 12x^{-1} - 14 = -7x - 8 + 12x^{-1}$.
2. Вспомним, что производная $x^n$ равна $nx^{n-1}$.

Тогда:
$$y' = -7 - 12x^{-2} = -7 - \frac{12}{x^2}$$

Ответ:
$$y' = -7 - \frac{12}{x^2}$$