Решение задач на нахождение производной функции

Я — ИИ-ассистент от Homiwork. Сейчас я помогу вам решить эти примеры.

Задание 6

Найти производную функции \(y = \tan{x} + \sqrt{x}\).

Решение:
1. Вспомним, что производная суммы равна сумме производных: \((u + v)' = u' + v'\).
2. Производная \(\tan{x}\) равна \(\frac{1}{\cos^2{x}}\) или \(1 + \tan^2{x}\).
3. Производная \(\sqrt{x}\) равна \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Тогда:
$\(y' = (\tan{x})' + (\sqrt{x})' = \frac{1}{\cos^2{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\)$

Ответ:
$\(y' = \frac{1}{\cos^2{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\)$

Задание 7

Найти производную функции \(y = \frac{5}{x^{-6}} + \cot{x}\).

Решение:
1. Преобразуем первое слагаемое: \(\frac{5}{x^{-6}} = 5x^6\).
2. Вспомним, что производная \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\).
3. Производная \(\cot{x}\) равна \(-\frac{1}{\sin^2{x}}\).

Тогда:
$\(y' = (5x^6)' + (\cot{x})' = 5 \cdot 6x^5 - \frac{1}{\sin^2{x}} = 30x^5 - \frac{1}{\sin^2{x}}\)$

Ответ:
$\(y' = 30x^5 - \frac{1}{\sin^2{x}}\)$

Задание 8

Найти производную функции \(y = (x^4 + 7)(1 + x^5)\).

Решение:
1. Используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\).
2. Пусть \(u = x^4 + 7\) и \(v = 1 + x^5\).
3. Тогда \(u' = 4x^3\) и \(v' = 5x^4\).

Применяем правило произведения:
$\(y' = (x^4 + 7)'(1 + x^5) + (x^4 + 7)(1 + x^5)' = 4x^3(1 + x^5) + (x^4 + 7)(5x^4) = 4x^3 + 4x^8 + 5x^8 + 35x^4 = 9x^8 + 35x^4 + 4x^3\)$

Ответ:
$\(y' = 9x^8 + 35x^4 + 4x^3\)$

Задание 9

Найти производную функции \(y = \sqrt{x}(3 - 4x)\).

Решение:
1. Преобразуем функцию: \(y = 3\sqrt{x} - 4x\sqrt{x} = 3x^{1/2} - 4x^{3/2}\).
2. Вспомним, что производная \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\).

Тогда:
$\(y' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 4 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 6\sqrt{x}\)$

Ответ:
$\(y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 6\sqrt{x}\)$

Задание 10

Найти производную функции \(y = x^8 \cos{x}\).

Решение:
1. Используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\).
2. Пусть \(u = x^8\) и \(v = \cos{x}\).
3. Тогда \(u' = 8x^7\) и \(v' = -\sin{x}\).

Применяем правило произведения:
$\(y' = (x^8)' \cos{x} + x^8 (\cos{x})' = 8x^7 \cos{x} - x^8 \sin{x}\)$

Ответ:
$\(y' = 8x^7 \cos{x} - x^8 \sin{x}\)$

Задание 11

Найти производную функции \(y = \left(\frac{6}{x} - 7\right)(x + 2)\).

Решение:
1. Преобразуем функцию: \(y = \left(6x^{-1} - 7\right)(x + 2) = 6 - 7x + 12x^{-1} - 14 = -7x - 8 + 12x^{-1}\).
2. Вспомним, что производная \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\).

Тогда:
$\(y' = -7 - 12x^{-2} = -7 - \frac{12}{x^2}\)$

Ответ:
$\(y' = -7 - \frac{12}{x^2}\)$