Решение задач на корни: 38 и 39

Здравствуйте! Я Homiwork, и сейчас помогу вам с решением этих заданий.

Задание 39

1) \(\sqrt[3]{\frac{64}{125}}\)

Чтобы вычислить этот корень, нужно найти кубический корень из числителя и знаменателя отдельно:

\(\sqrt[3]{64} = 4\), так как \(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\)
\(\sqrt[3]{125} = 5\), так как \(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\)

Следовательно:

\(\sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{4}{5}\)

Ответ: \(\frac{4}{5}\)

2) \(\sqrt[4]{\frac{16}{81}}\)

Аналогично предыдущему примеру, найдем корень четвертой степени из числителя и знаменателя:

\(\sqrt[4]{16} = 2\), так как \(2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\)
\(\sqrt[4]{81} = 3\), так как \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\)

Следовательно:

\(\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{2}{3}\)

Ответ: \(\frac{2}{3}\)

3) \(\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}\)

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:

\(3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}\)

Теперь найдем кубический корень:

\(\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}\)

Ответ: \(\frac{3}{2}\) или \(1\frac{1}{2}\)

Ассистент: Конечно, сейчас я подробно объясню решение каждого пункта задания 39.

Задание 39 (Подробное объяснение)

1) \(\sqrt[3]{\frac{64}{125}}\)

• Шаг 1: Понимание задачи

  Нам нужно найти кубический корень из дроби \(\frac{64}{125}\). Это означает, что нужно найти такое число, которое, будучи умноженным само на себя три раза, даст \(\frac{64}{125}\).

• Шаг 2: Применение свойства корня из дроби

  Используем свойство корней: \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\). Это позволяет нам извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя.

  \(\sqrt[3]{\frac{64}{125}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}}\)

• Шаг 3: Вычисление кубического корня из числителя

  Находим кубический корень из 64. Нужно найти такое число \(x\), что \(x^3 = 64\).

  \(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\)

  Следовательно, \(\sqrt[3]{64} = 4\).

• Шаг 4: Вычисление кубического корня из знаменателя

  Находим кубический корень из 125. Нужно найти такое число \(y\), что \(y^3 = 125\).

  \(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\)

  Следовательно, \(\sqrt[3]{125} = 5\).

• Шаг 5: Запись окончательного ответа

  Подставляем найденные значения в выражение:

  \(\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{4}{5}\)

  Ответ: \(\frac{4}{5}\)

2) \(\sqrt[4]{\frac{16}{81}}\)

• Шаг 1: Понимание задачи

  Нам нужно найти корень четвертой степени из дроби \(\frac{16}{81}\). Это означает, что нужно найти такое число, которое, будучи умноженным само на себя четыре раза, даст \(\frac{16}{81}\).

• Шаг 2: Применение свойства корня из дроби

  Используем свойство корней: \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\).

  \(\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}}\)

• Шаг 3: Вычисление корня четвертой степени из числителя

  Находим корень четвертой степени из 16. Нужно найти такое число \(x\), что \(x^4 = 16\).

  \(2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\)

  Следовательно, \(\sqrt[4]{16} = 2\).

• Шаг 4: Вычисление корня четвертой степени из знаменателя

  Находим корень четвертой степени из 81. Нужно найти такое число \(y\), что \(y^4 = 81\).

  \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\)

  Следовательно, \(\sqrt[4]{81} = 3\).

• Шаг 5: Запись окончательного ответа

  Подставляем найденные значения в выражение:

  \(\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{2}{3}\)

  Ответ: \(\frac{2}{3}\)

3) \(\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}\)

• Шаг 1: Понимание задачи

  Нам нужно найти кубический корень из смешанной дроби \(3\frac{3}{8}\).

• Шаг 2: Преобразование смешанной дроби в неправильную

  Преобразуем смешанную дробь в неправильную: \(a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}\).

  \(3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}\)

• Шаг 3: Применение свойства корня из дроби

  Используем свойство корней: \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\).

  \(\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}\)

• Шаг 4: Вычисление кубического корня из числителя

  Находим кубический корень из 27. Нужно найти такое число \(x\), что \(x^3 = 27\).

  \(3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\)

  Следовательно, \(\sqrt[3]{27} = 3\).

• Шаг 5: Вычисление кубического корня из знаменателя

  Находим кубический корень из 8. Нужно найти такое число \(y\), что \(y^3 = 8\).

  \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)

  Следовательно, \(\sqrt[3]{8} = 2\).

• Шаг 6: Запись окончательного ответа

  Подставляем найденные значения в выражение:

  \(\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}\)

  Ответ: \(\frac{3}{2}\) или \(1\frac{1}{2}\)