Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим эти пределы по порядку.

Задание 6a

Вычислить предел:
$$\lim_{x \to -3} (1 - 2x^3 + 3x^4)$$

Поскольку это предел многочлена, мы можем просто подставить значение $x = -3$ в выражение:

$$1 - 2(-3)^3 + 3(-3)^4 = 1 - 2(-27) + 3(81) = 1 + 54 + 243 = 298$$

Ответ:
$$\lim_{x \to -3} (1 - 2x^3 + 3x^4) = 298$$

Задание 6б

Вычислить предел:
$$\lim_{x \to -5} \frac{x^2 - 25}{x + 5}$$

Заметим, что при прямой подстановке $x = -5$ мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Разложим числитель на множители:

$$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$$

Тогда предел можно переписать как:

$$\lim_{x \to -5} \frac{(x - 5)(x + 5)}{x + 5}$$

Сократим $(x + 5)$ в числителе и знаменателе (поскольку $x \neq -5$):

$$\lim_{x \to -5} (x - 5) = -5 - 5 = -10$$

Ответ:
$$\lim_{x \to -5} \frac{x^2 - 25}{x + 5} = -10$$

Задание 6в

Вычислить предел:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3 + x + 5x^4}{x^4 - 12x + 1}$$

Чтобы вычислить предел рациональной функции при $x \to \infty$, разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x^4$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^4} + \frac{x}{x^4} + \frac{5x^4}{x^4}}{\frac{x^4}{x^4} - \frac{12x}{x^4} + \frac{1}{x^4}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^4} + \frac{1}{x^3} + 5}{1 - \frac{12}{x^3} + \frac{1}{x^4}}$$

При $x \to \infty$, $\frac{3}{x^4} \to 0$, $\frac{1}{x^3} \to 0$, $\frac{12}{x^3} \to 0$, и $\frac{1}{x^4} \to 0$. Тогда:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{0 + 0 + 5}{1 - 0 + 0} = \frac{5}{1} = 5$$

Ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3 + x + 5x^4}{x^4 - 12x + 1} = 5$$