Решение пределов функций: подробное объяснение с применением правил и формул

Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим эти пределы по порядку.

Задание 6a

Вычислить предел:
$\(\lim_{x \to -3} (1 - 2x^3 + 3x^4)\)$

Поскольку это предел многочлена, мы можем просто подставить значение \(x = -3\) в выражение:

Ответ:
$\(\lim_{x \to -3} (1 - 2x^3 + 3x^4) = 298\)$

Задание 6б

Вычислить предел:
$\(\lim_{x \to -5} \frac{x^2 - 25}{x + 5}\)$

Заметим, что при прямой подстановке \(x = -5\) мы получаем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Разложим числитель на множители:

Тогда предел можно переписать как:

Сократим \((x + 5)\) в числителе и знаменателе (поскольку \(x \neq -5\)):

Ответ:
$\(\lim_{x \to -5} \frac{x^2 - 25}{x + 5} = -10\)$

Задание 6в

Вычислить предел:
$\(\lim_{x \to \infty} \frac{3 + x + 5x^4}{x^4 - 12x + 1}\)$

Чтобы вычислить предел рациональной функции при \(x \to \infty\), разделим числитель и знаменатель на старшую степень \(x\), то есть на \(x^4\):

При \(x \to \infty\), \(\frac{3}{x^4} \to 0\), \(\frac{1}{x^3} \to 0\), \(\frac{12}{x^3} \to 0\), и \(\frac{1}{x^4} \to 0\). Тогда:

Ответ:
$\(\lim_{x \to \infty} \frac{3 + x + 5x^4}{x^4 - 12x + 1} = 5\)$