Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим задачу по исследованию функции и построению графика.

Задание 4

Исследуйте средствами дифференциального исчисления функцию $y = f(x)$ и постройте её график:

$f(x) = \frac{4x^3 + 5}{x}$

Решение:

1. Область определения:

   Функция определена при $x \neq 0$. Таким образом, область определения: $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Четность/нечетность:

   $f(-x) = \frac{4(-x)^3 + 5}{-x} = \frac{-4x^3 + 5}{-x} = \frac{4x^3 - 5}{x}$

   Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Пересечение с осями координат:

   • С осью $Oy$: Функция не пересекает ось $Oy$, так как $x \neq 0$.
   • С осью $Ox$: $f(x) = 0 \Rightarrow 4x^3 + 5 = 0 \Rightarrow x^3 = -\frac{5}{4} \Rightarrow x = \sqrt[3]{-\frac{5}{4}} \approx -1.077$.
     Точка пересечения с осью $Ox$: $(-1.077, 0)$.

4. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: $x = 0$.
     $\lim_{x \to 0^-} \frac{4x^3 + 5}{x} = -\infty$
     $\lim_{x \to 0^+} \frac{4x^3 + 5}{x} = +\infty$

   • Наклонная асимптота: $y = kx + b$
     $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 5}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} 4x = \infty$
     Значит, наклонной асимптоты нет.

5. Первая производная и экстремумы:

   $f'(x) = \frac{(12x^2)x - (4x^3 + 5)}{x^2} = \frac{12x^3 - 4x^3 - 5}{x^2} = \frac{8x^3 - 5}{x^2}$

   $f'(x) = 0 \Rightarrow 8x^3 - 5 = 0 \Rightarrow x^3 = \frac{5}{8} \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{5}{8}} \approx 0.866$

   Критические точки: $x = 0.866$ и $x = 0$ (не входит в область определения).

   • При $x < 0.866$, например $x = 0.5$, $f'(0.5) = \frac{8(0.5)^3 - 5}{(0.5)^2} = \frac{1 - 5}{0.25} = -16 < 0$, функция убывает.
   • При $x > 0.866$, например $x = 1$, $f'(1) = \frac{8 - 5}{1} = 3 > 0$, функция возрастает.

   Таким образом, $x = 0.866$ - точка минимума.
   $f(0.866) = \frac{4(0.866)^3 + 5}{0.866} \approx \frac{4(0.649) + 5}{0.866} \approx \frac{2.596 + 5}{0.866} \approx \frac{7.596}{0.866} \approx 8.77$

   Минимум в точке $(0.866, 8.77)$.

6. Вторая производная и точки перегиба:

   $f''(x) = \frac{(24x^2)x^2 - (8x^3 - 5)(2x)}{x^4} = \frac{24x^4 - 16x^4 + 10x}{x^4} = \frac{8x^4 + 10x}{x^4} = \frac{8x^3 + 10}{x^3}$

   $f''(x) = 0 \Rightarrow 8x^3 + 10 = 0 \Rightarrow x^3 = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} \Rightarrow x = \sqrt[3]{-\frac{5}{4}} \approx -1.077$

   • При $x < -1.077$, например $x = -2$, $f''(-2) = \frac{8(-2)^3 + 10}{(-2)^3} = \frac{-64 + 10}{-8} = \frac{-54}{-8} = 6.75 > 0$, функция выпукла вниз.
   • При $x > -1.077$, например $x = -1$, $f''(-1) = \frac{8(-1)^3 + 10}{(-1)^3} = \frac{-8 + 10}{-1} = -2 < 0$, функция выпукла вверх.

   Точка перегиба: $(-1.077, 0)$.

7. Построение графика:

   Основываясь на полученных данных, можно построить график функции.

Ответ:

• Область определения: $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$
• Функция ни четная, ни нечетная.
• Пересечение с осью $Ox$: $(-1.077, 0)$
• Вертикальная асимптота: $x = 0$
• Наклонной асимптоты нет.
• Минимум в точке: $(0.866, 8.77)$
• Точка перегиба: $(-1.077, 0)$

Ассистент: Конечно, сейчас я подробно объясню решение задачи.

Задание 4: Подробное решение

Исследуем функцию $f(x) = \frac{4x^3 + 5}{x}$ средствами дифференциального исчисления и построим её график.

1. Область определения

• Что такое область определения? Это все значения $x$, для которых функция $f(x)$ имеет смысл (то есть, можно вычислить значение).
• В нашем случае, функция $f(x) = \frac{4x^3 + 5}{x}$ является дробью. Дробь имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю.
• Поэтому, мы должны исключить из рассмотрения те значения $x$, при которых знаменатель $x$ равен нулю.
• Таким образом, $x \neq 0$.
• Вывод: Область определения функции $f(x)$ - это все действительные числа, кроме нуля. В виде интервалов это записывается так: $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Четность/нечетность

• Что такое четная функция? Функция $f(x)$ называется четной, если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из её области определения. График четной функции симметричен относительно оси $Oy$.
• Что такое нечетная функция? Функция $f(x)$ называется нечетной, если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из её области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
• Чтобы определить, является ли наша функция четной или нечетной, нужно вычислить $f(-x)$ и сравнить с $f(x)$ и $-f(x)$.
• $f(-x) = \frac{4(-x)^3 + 5}{-x} = \frac{-4x^3 + 5}{-x} = \frac{4x^3 - 5}{x}$
• Теперь сравним:
  • $f(-x) = \frac{4x^3 - 5}{x}$
  • $f(x) = \frac{4x^3 + 5}{x}$
  • $-f(x) = -\frac{4x^3 + 5}{x} = \frac{-4x^3 - 5}{x}$
• Видим, что $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$.
• Вывод: Функция $f(x)$ не является ни четной, ни нечетной.

3. Пересечение с осями координат

• Пересечение с осью $Oy$: Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью $Oy$, нужно вычислить значение функции при $x = 0$. Однако, $x = 0$ не входит в область определения нашей функции, поэтому график функции не пересекает ось $Oy$.
• Пересечение с осью $Ox$: Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью $Ox$, нужно решить уравнение $f(x) = 0$.
  • $\frac{4x^3 + 5}{x} = 0$
  • Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: $4x^3 + 5 = 0$
  • $4x^3 = -5$
  • $x^3 = -\frac{5}{4}$
  • $x = \sqrt[3]{-\frac{5}{4}} \approx -1.077$
• Вывод: График функции пересекает ось $Ox$ в точке $(-1.077, 0)$.

4. Асимптоты

• Что такое асимптота? Асимптота - это прямая, к которой график функции неограниченно приближается при удалении в бесконечность или при приближении к определенной точке.
• Вертикальные асимптоты: Вертикальные асимптоты возникают в точках, где функция не определена и стремится к бесконечности. В нашем случае, это точка $x = 0$.
  • $\lim_{x \to 0^-} \frac{4x^3 + 5}{x} = -\infty$ (предел слева)
  • $\lim_{x \to 0^+} \frac{4x^3 + 5}{x} = +\infty$ (предел справа)
  • Вывод: $x = 0$ - вертикальная асимптота.
• Наклонные асимптоты: Наклонная асимптота имеет вид $y = kx + b$, где $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx)$.
  • $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 5}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} 4x = \infty$
  • Так как $k = \infty$, наклонной асимптоты нет.
  • Вывод: Наклонной асимптоты нет.

5. Первая производная и экстремумы

• Что такое производная? Производная функции $f(x)$ показывает скорость изменения функции в каждой точке.
• Как найти экстремумы? Экстремумы (максимумы и минимумы) функции находятся в точках, где её производная равна нулю или не существует.
• Вычислим первую производную $f'(x)$:
  • $f(x) = \frac{4x^3 + 5}{x}$
  • $f'(x) = \frac{(12x^2)x - (4x^3 + 5)}{x^2} = \frac{12x^3 - 4x^3 - 5}{x^2} = \frac{8x^3 - 5}{x^2}$
• Найдем критические точки (где $f'(x) = 0$):
  • $\frac{8x^3 - 5}{x^2} = 0$
  • $8x^3 - 5 = 0$
  • $8x^3 = 5$
  • $x^3 = \frac{5}{8}$
  • $x = \sqrt[3]{\frac{5}{8}} \approx 0.866$
• Также, $f'(x)$ не существует при $x = 0$, но эта точка не входит в область определения $f(x)$.
• Определим знаки производной на интервалах:
  • $x < 0.866$, например $x = 0.5$, $f'(0.5) = \frac{8(0.5)^3 - 5}{(0.5)^2} = \frac{1 - 5}{0.25} = -16 < 0$, функция убывает.
  • $x > 0.866$, например $x = 1$, $f'(1) = \frac{8 - 5}{1} = 3 > 0$, функция возрастает.
• Вывод: $x = 0.866$ - точка минимума.
• Вычислим значение функции в точке минимума:
  • $f(0.866) = \frac{4(0.866)^3 + 5}{0.866} \approx \frac{4(0.649) + 5}{0.866} \approx \frac{2.596 + 5}{0.866} \approx \frac{7.596}{0.866} \approx 8.77$
• Минимум в точке $(0.866, 8.77)$.

6. Вторая производная и точки перегиба

• Что такое вторая производная? Вторая производная функции $f(x)$ показывает, как меняется скорость изменения функции (то есть, как меняется первая производная). Она позволяет определить выпуклость графика функции.
• Как найти точки перегиба? Точки перегиба - это точки, где меняется выпуклость графика функции. Они находятся в точках, где вторая производная равна нулю или не существует.
• Вычислим вторую производную $f''(x)$:
  • $f'(x) = \frac{8x^3 - 5}{x^2}$
  • $f''(x) = \frac{(24x^2)x^2 - (8x^3 - 5)(2x)}{x^4} = \frac{24x^4 - 16x^4 + 10x}{x^4} = \frac{8x^4 + 10x}{x^4} = \frac{8x^3 + 10}{x^3}$
• Найдем точки, где $f''(x) = 0$:
  • $\frac{8x^3 + 10}{x^3} = 0$
  • $8x^3 + 10 = 0$
  • $8x^3 = -10$
  • $x^3 = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$
  • $x = \sqrt[3]{-\frac{5}{4}} \approx -1.077$
• Определим знаки второй производной на интервалах:
  • $x < -1.077$, например $x = -2$, $f''(-2) = \frac{8(-2)^3 + 10}{(-2)^3} = \frac{-64 + 10}{-8} = \frac{-54}{-8} = 6.75 > 0$, функция выпукла вниз.
  • $x > -1.077$, например $x = -1$, $f''(-1) = \frac{8(-1)^3 + 10}{(-1)^3} = \frac{-8 + 10}{-1} = -2 < 0$, функция выпукла вверх.
• Вывод: $x = -1.077$ - точка перегиба.
• Значение функции в точке перегиба: $f(-1.077) = 0$ (мы это уже находили при пересечении с осью $Ox$).
• Точка перегиба: $(-1.077, 0)$.

7. Построение графика

Основываясь на полученных данных:

• Область определения: $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$
• Функция ни четная, ни нечетная.
• Пересечение с осью $Ox$: $(-1.077, 0)$
• Вертикальная асимптота: $x = 0$
• Наклонной асимптоты нет.
• Минимум в точке: $(0.866, 8.77)$
• Точка перегиба: $(-1.077, 0)$

Можно построить график функции.