Координатные оси делят плоскость на четыре четверти. Ниже короткое правило, как определить четверть по координатам точки, а затем разобранные задания 9–13 из учебника: точки относительно осей, построение точек, четверть по знакам и отрезок с треугольником на плоскости.
Есть своё задание про координатную плоскость? Пришлите фото или условие, и ИИ разберёт его по шагам.
Разобрать моё заданиеКак определить четверть
- Посмотри на знаки: x — первая координата (абсцисса), y — вторая (ордината).
- Четверти нумеруются против часовой стрелки с правой верхней: I — (+; +), II — (−; +), III — (−; −), IV — (+; −).
- Если x = 0 или y = 0, точка лежит на оси и не принадлежит ни одной четверти.
Пример: точка (−3; 5) имеет x < 0, y > 0, значит, лежит во II четверти.
Задачи и решения
9 Какие из точек A(1; 5); B(2; −7); C(4; 0); D(0; −6); F(−8; −3); K(−9; 0); M(−5; 8,5); N(−2; −10) находятся: а) выше оси абсцисс; б) ниже оси абсцисс; в) правее оси ординат; г) левее оси ординат; д) на оси абсцисс; е) на оси ординат?
Ответ а) A, M; б) B, D, F, N; в) A, B, C; г) F, K, M, N; д) C, K; е) D.
Ось абсцисс — горизонтальная ось Ox, ось ординат — вертикальная ось Oy. Смотрим на знак нужной координаты.
- а) выше оси абсцисс: y > 0 — это A(1; 5) и M(−5; 8,5).
- б) ниже оси абсцисс: y < 0 — это B(2; −7), D(0; −6), F(−8; −3) и N(−2; −10).
- в) правее оси ординат: x > 0 — это A(1; 5), B(2; −7) и C(4; 0).
- г) левее оси ординат: x < 0 — это F(−8; −3), K(−9; 0), M(−5; 8,5) и N(−2; −10).
- д) на оси абсцисс: y = 0 — это C(4; 0) и K(−9; 0).
- е) на оси ординат: x = 0 — это D(0; −6).
Точка на оси не лежит ни выше, ни ниже (или ни правее, ни левее) этой оси, поэтому D с x = 0 попадает в пункт «ниже оси абсцисс», но не в «правее» и не в «левее».
10 Отметьте на координатной плоскости точки с координатами: а) K(0; 4); M(−1,5; −3); F(2,5; 0); C(−4; 1/4); A(0; 3,5); D(1; −2); б) B(−2,5; 0); T(4; 3); N(0; 5); C(−3; −1,5); P(0; 2,5).
Ответ Положение точек: а) K на оси Oy, M в III четверти, F на оси Ox, C(−4; 1/4) во II четверти, A на оси Oy, D в IV четверти; б) B на оси Ox, T в I четверти, N на оси Oy, C(−3; −1,5) в III четверти, P на оси Oy.
Чтобы отметить точку (x; y), от начала координат отсчитываем x единиц по оси Ox (вправо при x > 0, влево при x < 0), затем y единиц параллельно оси Oy (вверх при y > 0, вниз при y < 0). Если одна координата равна нулю, точка лежит на оси.
- а) K(0; 4): на оси Oy, 4 единицы вверх. M(−1,5; −3): 1,5 влево и 3 вниз, III четверть. F(2,5; 0): на оси Ox, 2,5 вправо. C(−4; 1/4): 4 влево и четверть единицы вверх, II четверть. A(0; 3,5): на оси Oy, 3,5 вверх. D(1; −2): 1 вправо и 2 вниз, IV четверть.
- б) B(−2,5; 0): на оси Ox, 2,5 влево. T(4; 3): I четверть. N(0; 5): на оси Oy, 5 вверх. C(−3; −1,5): III четверть. P(0; 2,5): на оси Oy, 2,5 вверх.
В условии две точки названы C: одна в пункте а), другая в пункте б). Рисунок смотрите в своей тетради: масштаб удобно взять 1 клетка = 1 единица, а для половинок и четверти — отсчитывать пол-клетки и четверть клетки.
11 В какой координатной четверти лежит точка M(x; y), если: а) x > 0, y > 0; б) x > 0, y < 0; в) x < 0, y < 0; г) x < 0, y > 0?
Ответ а) в I четверти; б) в IV четверти; в) в III четверти; г) во II четверти.
Четверти нумеруются против часовой стрелки, начиная с правой верхней.
- а) x > 0, y > 0: правее оси Oy и выше оси Ox — I четверть.
- б) x > 0, y < 0: правее оси Oy и ниже оси Ox — IV четверть.
- в) x < 0, y < 0: левее оси Oy и ниже оси Ox — III четверть.
- г) x < 0, y > 0: левее оси Oy и выше оси Ox — II четверть.
12 Постройте на координатной плоскости отрезок MN по координатам его концов и найдите координаты точки, в которой он пересекает ось абсцисс: а) M(5; 3), N(3; −3); б) M(−2; −4), N(−4; 4).
Ответ а) (4; 0); б) (−3; 0).
Концы отрезка лежат по разные стороны от оси Ox (у одного y > 0, у другого y < 0), поэтому отрезок её пересекает. В обоих пунктах ординаты концов противоположны, значит, точка пересечения — середина отрезка.
- а) y = 3 и y = −3, середина: x = (5 + 3) / 2 = 4, y = 0. Ответ: (4; 0).
- б) y = −4 и y = 4, середина: x = (−2 + (−4)) / 2 = −3, y = 0. Ответ: (−3; 0).
Проверка по рисунку: в пункте а) отрезок идёт из I четверти в IV и пересекает ось Ox правее начала координат, в пункте б) — из III четверти во II и пересекает её левее.
13 Постройте на координатной плоскости треугольник ABC, если известны координаты его вершин: A(1; −4), B(−3; 4), C(6; 3). Запишите координаты точек, в которых стороны треугольника пересекают оси координат.
Ответ Ось Ox: (−1; 0) на стороне AB и (27/7; 0), то есть (3 6/7; 0), на стороне AC. Ось Oy: (0; −2) на стороне AB и (0; 11/3), то есть (0; 3 2/3), на стороне BC.
Сторона пересекает ось, если концы лежат по разные стороны от неё. Точные координаты найдём из уравнения прямой.
- AB: A(1; −4), B(−3; 4). Прямая y = −2x − 2. При y = 0 получаем x = −1, при x = 0 получаем y = −2. Точки (−1; 0) и (0; −2) лежат на отрезке AB.
- BC: B(−3; 4), C(6; 3). Прямая y = 4 − (x + 3) / 9. При x = 0 получаем y = 4 − 1/3 = 11/3. Ось Ox эта сторона не пересекает: обе вершины выше неё.
- AC: A(1; −4), C(6; 3). Прямая y = −4 + 7(x − 1) / 5. При y = 0 получаем x = 1 + 20/7 = 27/7. Ось Oy сторона AC не пересекает: обе вершины правее неё.
На рисунке по клеточкам эти точки видны приблизительно: (−1; 0), (0; −2), около (3,9; 0) и около (0; 3,7).
Знаки координат по четвертям
Таблица знаков
- I четверть: x > 0, y > 0, например (2; 3).
- II четверть: x < 0, y > 0, например (−2; 3).
- III четверть: x < 0, y < 0, например (−2; −3).
- IV четверть: x > 0, y < 0, например (2; −3).
На оси Ox (оси абсцисс) y = 0, на оси Oy (оси ординат) x = 0. Начало координат O(0; 0) лежит на обеих осях.
Как запомнить нумерацию
Идём от правой верхней части против часовой стрелки: вправо-вверх — I, влево-вверх — II, влево-вниз — III, вправо-вниз — IV. Часовая стрелка здесь не подходит: именно поэтому нумерация против неё.
Частые ошибки
-
Отнести точку на оси, например (4; 0), к какой-то четверти
Точки с x = 0 или y = 0 лежат на осях и ни в одной четверти не находятся.
-
Перепутать порядок координат: x по вертикали, y по горизонтали
Первое число — по горизонтали (ось Ox), второе — по вертикали (ось Oy).
-
Нумеровать четверти по часовой стрелке
Нумерация идёт против часовой стрелки, начиная с правой верхней четверти.
Вопросы и ответы
В какой четверти точка с отрицательным x и положительным y?
Во II четверти: влево от оси Oy и выше оси Ox.
Какой четверти принадлежит начало координат?
Никакой: точка O(0; 0) лежит на пересечении осей.
Сколько всего четвертей на координатной плоскости?
Четыре. Их обозначают римскими цифрами I, II, III, IV.
