Решение задач по алгебре: упрощение выражений и построение графиков функций

Привет! Отлично, сейчас разберем эти задания по порядку. Начнем с 41 и 38.

Задание 41

Построить график функции:

а) \(y = \frac{x^2 - 16}{2x + 8}\)

б) \(y = \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 4}\)

Решение 41а

1. Упрощение функции:

   \(y = \frac{x^2 - 16}{2x + 8} = \frac{(x - 4)(x + 4)}{2(x + 4)}\)

2. Сокращение дроби (с учетом ОДЗ):

   \(y = \frac{x - 4}{2}\), при \(x \neq -4\)

3. График:

   Это прямая линия \(y = \frac{x}{2} - 2\) с выколотой точкой при \(x = -4\). Найдем значение y в этой точке: \(y = \frac{-4 - 4}{2} = -4\). Таким образом, график - прямая \(y = \frac{x}{2} - 2\) с выколотой точкой \((-4, -4)\).

Решение 41б

1. Упрощение функции:

   \(y = \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 4} = \frac{x^2(x^2 - 4)}{x^2 - 4}\)

2. Сокращение дроби (с учетом ОДЗ):

   \(y = x^2\), при \(x \neq \pm 2\)

3. График:

   Это парабола \(y = x^2\) с выколотыми точками при \(x = 2\) и \(x = -2\). Найдем значения y в этих точках: \(y = (2)^2 = 4\) и \(y = (-2)^2 = 4\). Таким образом, график - парабола \(y = x^2\) с выколотыми точками \((2, 4)\) и \((-2, 4)\).

Задание 38

Упростить выражение:

а) \(\frac{ay - ab}{bx - ab - xy + ay}\)

б) \(\frac{bx - ax + by - ay}{a^2 - b^2}\)

Решение 38а

1. Разложение на множители числителя и знаменателя:

   Числитель: \(ay - ab = a(y - b)\)

   Знаменатель: \(bx - ab - xy + ay = bx - xy + ay - ab = x(b - y) + a(y - b) = a(y-b) - x(y-b) = (a-x)(y-b)\)

2. Упрощение дроби:

   \(\frac{a(y - b)}{(a - x)(y - b)} = \frac{a}{a - x}\), при \(y \neq b\)

Решение 38б

1. Разложение на множители числителя и знаменателя:

   Числитель: \(bx - ax + by - ay = x(b - a) + y(b - a) = (x + y)(b - a) = -(x+y)(a-b)\)

   Знаменатель: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

2. Упрощение дроби:

   \(\frac{-(x + y)(a - b)}{(a - b)(a + b)} = -\frac{x + y}{a + b}\), при \(a \neq b\)

Привет! Сейчас я подробно объясню решение задачи 41a.

Задание 41a: Построить график функции \(y = \frac{x^2 - 16}{2x + 8}\)

Пошаговое решение:

1. Область определения (ОДЗ):

   • Первым шагом всегда определяем область допустимых значений переменной \(x\). В данном случае, знаменатель не должен быть равен нулю:
     \(2x + 8 \neq 0\)
     \(2x \neq -8\)
     \(x \neq -4\)
   • Таким образом, \(x\) может быть любым числом, кроме \(-4\).

2. Упрощение функции:

   • Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). В нашем случае, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\).
   • Вынесем общий множитель в знаменателе: \(2x + 8 = 2(x + 4)\).
   • Теперь функция выглядит так:
     \(y = \frac{(x - 4)(x + 4)}{2(x + 4)}\)

3. Сокращение дроби (с учетом ОДЗ):

   • Мы можем сократить дробь на \((x + 4)\), но при этом должны помнить, что \(x \neq -4\), иначе деление на ноль.
   • После сокращения получаем:
     \(y = \frac{x - 4}{2}\), при \(x \neq -4\)

4. Преобразование к виду прямой:

   • Разделим числитель на знаменатель:
     \(y = \frac{x}{2} - \frac{4}{2} = \frac{x}{2} - 2\)
   • Это уравнение прямой с угловым коэффициентом \(\frac{1}{2}\) и смещением по оси y на \(-2\).

5. Выколотая точка:

   • Так как \(x \neq -4\), на графике прямой \(y = \frac{x}{2} - 2\) нужно отметить точку, соответствующую \(x = -4\), как "выколотую".
   • Найдем значение \(y\) при \(x = -4\):
     \(y = \frac{-4}{2} - 2 = -2 - 2 = -4\)
   • Таким образом, на графике прямая \(y = \frac{x}{2} - 2\) с выколотой точкой \((-4, -4)\).

Итог:

График функции \(y = \frac{x^2 - 16}{2x + 8}\) представляет собой прямую линию \(y = \frac{x}{2} - 2\) с выколотой точкой \((-4, -4)\).