Вычисление тригонометрических выражений

Я постараюсь помочь вам решить эти задания.

Задание 2a (слева)

Вычислим значение выражения: \(2\cos{30^\circ} \cdot \cot{60^\circ} - \sin{\frac{3\pi}{2}}\).

1. Вспомним значения тригонометрических функций для углов \(30^\circ\) и \(60^\circ\):

   • \(\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
   • \(\cot{60^\circ} = \frac{1}{\tan{60^\circ}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
   • \(\sin{\frac{3\pi}{2}} = -1\)

2. Подставим эти значения в выражение:
   \(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - (-1) = 1 + 1 = 2\)

Ответ: 2

Задание 2б (слева)

Вычислим значение выражения: \(\frac{\sin{390^\circ} - \sin{(-390^\circ)}}{\tan{(-765^\circ)}}\).

1. Упростим выражение, используя свойства тригонометрических функций:

   • \(\sin{(-x)} = -\sin{x}\), следовательно, \(\sin{(-390^\circ)} = -\sin{390^\circ}\)
   • \(\tan{(-x)} = -\tan{x}\), следовательно, \(\tan{(-765^\circ)} = -\tan{765^\circ}\)

2. Перепишем выражение:
   \(\frac{\sin{390^\circ} - (-\sin{390^\circ})}{-\tan{765^\circ}} = \frac{2\sin{390^\circ}}{-\tan{765^\circ}}\)

3. Упростим углы, используя периодичность тригонометрических функций:

   • \(\sin{(390^\circ)} = \sin{(390^\circ - 360^\circ)} = \sin{30^\circ} = \frac{1}{2}\)
   • \(\tan{(765^\circ)} = \tan{(765^\circ - 2 \cdot 360^\circ)} = \tan{(765^\circ - 720^\circ)} = \tan{45^\circ} = 1\)

4. Подставим значения в выражение:
   \(\frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{-1} = \frac{1}{-1} = -1\)

Ответ: -1

Задание 2a (справа)

Вычислим значение выражения: \(2\sin{60^\circ} \cdot \tan{30^\circ} - \cos{\pi}\).

1. Вспомним значения тригонометрических функций для углов \(60^\circ\), \(30^\circ\) и \(\pi\):

   • \(\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
   • \(\tan{30^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
   • \(\cos{\pi} = -1\)

2. Подставим эти значения в выражение:
   \(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - (-1) = 1 + 1 = 2\)

Ответ: 2