Сложение и вычитание дробей с разными и одинаковыми знаменателями

Отлично! Я вижу перед собой задания по сложению и вычитанию дробей. Давайте разберем их по порядку.

Задание 1

В этом задании нужно выполнить сложение и вычитание дробей.

а) \(\frac{7}{13} + \frac{1}{13}\)

1. Определяем тип дробей: Это дроби с одинаковыми знаменателями.
2. Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
3. Выполняем сложение:
   \(\frac{7}{13} + \frac{1}{13} = \frac{7+1}{13} = \frac{8}{13}\)

Ответ: \(\frac{8}{13}\)

б) \(\frac{1}{25} + \frac{3}{25}\)

1. Определяем тип дробей: Это дроби с одинаковыми знаменателями.
2. Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: Складываем числители, знаменатель оставляем прежним.
3. Выполняем сложение:
   \(\frac{1}{25} + \frac{3}{25} = \frac{1+3}{25} = \frac{4}{25}\)

Ответ: \(\frac{4}{25}\)

в) \(\frac{3}{10} + \frac{4}{7}\)

1. Определяем тип дробей: Это дроби с разными знаменателями.
2. Правило сложения дробей с разными знаменателями: Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю.
   • Находим наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 10 и 7.
   • Так как 10 и 7 — взаимно простые числа (у них нет общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению: \(10 \times 7 = 70\).
3. Приводим дроби к общему знаменателю:
   • Для первой дроби \(\frac{3}{10}\): чтобы знаменатель стал 70, нужно умножить его на 7. Значит, и числитель нужно умножить на 7.
     \(\frac{3 \times 7}{10 \times 7} = \frac{21}{70}\)
   • Для второй дроби \(\frac{4}{7}\): чтобы знаменатель стал 70, нужно умножить его на 10. Значит, и числитель нужно умножить на 10.
     \(\frac{4 \times 10}{7 \times 10} = \frac{40}{70}\)
4. Выполняем сложение дробей с одинаковыми знаменателями:
   \(\frac{21}{70} + \frac{40}{70} = \frac{21+40}{70} = \frac{61}{70}\)

Ответ: \(\frac{61}{70}\)

г) \(\frac{1}{9} + \frac{3}{5}\)

1. Определяем тип дробей: Это дроби с разными знаменателями.
2. Находим НОК для знаменателей 9 и 5:
   • 9 и 5 — взаимно простые числа.
   • НОК = \(9 \times 5 = 45\).
3. Приводим дроби к общему знаменателю:
   • Для \(\frac{1}{9}\): \(\frac{1 \times 5}{9 \times 5} = \frac{5}{45}\)
   • Для \(\frac{3}{5}\): \(\frac{3 \times 9}{5 \times 9} = \frac{27}{45}\)
4. Выполняем сложение:
   \(\frac{5}{45} + \frac{27}{45} = \frac{5+27}{45} = \frac{32}{45}\)

Ответ: \(\frac{32}{45}\)

д) \(\frac{5}{7} - \frac{3}{7}\)

1. Определяем тип дробей: Это дроби с одинаковыми знаменателями.
2. Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить прежним.
3. Выполняем вычитание:
   \(\frac{5}{7} - \frac{3}{7} = \frac{5-3}{7} = \frac{2}{7}\)

Ответ: \(\frac{2}{7}\)

е) \(\frac{20}{7} - \frac{5}{8}\)

1. Определяем тип дробей: Это дроби с разными знаменателями.
2. Находим НОК для знаменателей 7 и 8:
   • 7 и 8 — взаимно простые числа.
   • НОК = \(7 \times 8 = 56\).
3. Приводим дроби к общему знаменателю:
   • Для \(\frac{20}{7}\): \(\frac{20 \times 8}{7 \times 8} = \frac{160}{56}\)
   • Для \(\frac{5}{8}\): \(\frac{5 \times 7}{8 \times 7} = \frac{35}{56}\)
4. Выполняем вычитание:
   \(\frac{160}{56} - \frac{35}{56} = \frac{160-35}{56} = \frac{125}{56}\)
5. Выделяем целую часть (необязательно, но хорошая практика):
   \(125 \div 56 = 2\) с остатком \(125 - (2 \times 56) = 125 - 112 = 13\).
   Значит, \(\frac{125}{56} = 2\frac{13}{56}\).

Ответ: \(\frac{125}{56}\) или \(2\frac{13}{56}\)

ж) \(\frac{7}{24} - \frac{3}{36}\)

1. Определяем тип дробей: Это дроби с разными знаменателями.
2. Находим НОК для знаменателей 24 и 36:
   • Разложим знаменатели на простые множители:
     \(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3\)
     \(36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2\)
   • НОК = \(2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72\).
3. Приводим дроби к общему знаменателю 72:
   • Для \(\frac{7}{24}\): чтобы знаменатель стал 72, нужно умножить его на \(72 \div 24 = 3\).
     \(\frac{7 \times 3}{24 \times 3} = \frac{21}{72}\)
   • Для \(\frac{3}{36}\): чтобы знаменатель стал 72, нужно умножить его на \(72 \div 36 = 2\).
     \(\frac{3 \times 2}{36 \times 2} = \frac{6}{72}\)
4. Выполняем вычитание:
   \(\frac{21}{72} - \frac{6}{72} = \frac{21-6}{72} = \frac{15}{72}\)
5. Сокращаем дробь: Числитель 15 и знаменатель 72 делятся на 3.
   \(\frac{15 \div 3}{72 \div 3} = \frac{5}{24}\)

Ответ: \(\frac{5}{24}\)

Задание 2

В этом задании, судя по началу, также нужно выполнить сложение дробей.

а) \(1\frac{1}{3} + 1\frac{1}{5}\)

1. Определяем тип чисел: Это смешанные числа.
2. Правило сложения смешанных чисел: Можно сложить целые части отдельно, а дробные части отдельно. Или перевести смешанные числа в неправильные дроби. Давайте используем первый способ, так как он часто проще.
3. Складываем целые части:
   \(1 + 1 = 2\)
4. Складываем дробные части: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\)
   • Это дроби с разными знаменателями.
   • Находим НОК для 3 и 5. НОК = \(3 \times 5 = 15\).
   • Приводим дроби к общему знаменателю:
     \(\frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}\)
     \(\frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}\)
   • Складываем дробные части:
     \(\frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{5+3}{15} = \frac{8}{15}\)
5. Объединяем целую и дробную части:
   \(2 + \frac{8}{15} = 2\frac{8}{15}\)

Ответ: \(2\frac{8}{15}\)