Решение задач по физике: импульс фотона и спектральные линии атома водорода

Задание 2

Условие: С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона с \(\lambda = 520\) нм?

Решение:

1. Находим импульс фотона:
   Импульс фотона (\(p_f\)) связан с длиной волны (\(\lambda\)) формулой:
   \(p_f = \frac{h}{\lambda}\)
   где \(h\) — постоянная Планка (\(6.626 \times 10^{-34}\) Дж·с).

   Подставляем значение длины волны, предварительно переведя ее в метры:
   \(\lambda = 520\) нм \(= 520 \times 10^{-9}\) м.

   \(p_f = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}}{520 \times 10^{-9} \text{ м}} \approx 1.274 \times 10^{-27} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}\)

2. Приравниваем импульс электрона к импульсу фотона:
   Импульс электрона (\(p_e\)) равен произведению его массы (\(m_e\)) на скорость (\(v\)):
   \(p_e = m_e \cdot v\)
   где \(m_e\) — масса покоя электрона (\(9.109 \times 10^{-31}\) кг).

   По условию задачи, \(p_e = p_f\).
   \(m_e \cdot v = p_f\)

3. Находим скорость электрона:
   \(v = \frac{p_f}{m_e}\)

   \(v = \frac{1.274 \times 10^{-27} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}}{9.109 \times 10^{-31} \text{ кг}} \approx 1398.6 \frac{\text{м}}{\text{с}}\)

Ответ: Скорость электрона должна быть приблизительно \(1398.6\) м/с.

Задание 3

Условие: Найдите длину волны для 3 спектральной линии в спектральной серии Пашена атома водорода.

Решение:

Спектральные серии атома водорода описываются формулой Бальмера-Рыдберга:
\(\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)\)
где:
* \(\lambda\) — длина волны излучения.
* \(R\) — постоянная Ридберга (\(R \approx 1.097 \times 10^7\) м⁻¹).
* \(n_1\) — главное квантовое число начального энергетического уровня.
* \(n_2\) — главное квантовое число конечного энергетического уровня.

Спектральная серия Пашена соответствует переходам электронов на третий энергетический уровень, то есть \(n_1 = 3\).
Первая спектральная линия серии Пашена соответствует переходу с \(n_2 = 4\) на \(n_1 = 3\).
Вторая спектральная линия серии Пашена соответствует переходу с \(n_2 = 5\) на \(n_1 = 3\).
Третья спектральная линия серии Пашена соответствует переходу с \(n_2 = 6\) на \(n_1 = 3\).

1. Определяем значения \(n_1\) и \(n_2\):
   Для третьей линии серии Пашена:
   \(n_1 = 3\)
   \(n_2 = 6\)

2. Подставляем значения в формулу:
   \(\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{6^2} \right)\)
   \(\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{36} \right)\)

3. Приводим дроби к общему знаменателю:
   \(\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{4}{36} - \frac{1}{36} \right)\)
   \(\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{3}{36} \right)\)
   \(\frac{1}{\lambda} = R \cdot \frac{1}{12}\)

4. Находим длину волны \(\lambda\):
   \(\lambda = \frac{12}{R}\)

5. Подставляем значение постоянной Ридберга:
   \(\lambda = \frac{12}{1.097 \times 10^7 \text{ м}^{-1}}\)
   \(\lambda \approx 10.939 \times 10^{-7}\) м

6. Переводим длину волны в нанометры:
   \(1\) м \(= 10^9\) нм.
   \(\lambda \approx 10.939 \times 10^{-7} \times 10^9\) нм
   \(\lambda \approx 1093.9\) нм

Ответ: Длина волны третьей спектральной линии в серии Пашена для атома водорода составляет приблизительно \(1094\) нм.