Решение задач по математике и геометрии

Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить задачи.

Задание 4

По графику функции \(y = f(x)\), заданной на отрезке \([-3; 3]\), необходимо найти:
1. Область значений функции.
2. Нули функции.
3. Промежутки убывания и возрастания.

Решение:

1. Область значений функции: Это множество всех значений, которые принимает функция. По графику видно, что минимальное значение функции равно -2, а максимальное значение равно 3. Следовательно, область значений функции: \(E(f) = [-2; 3]\).

2. Нули функции: Это значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\). По графику видно, что функция пересекает ось \(x\) в точках \(x = -2\), \(x = -1\) и \(x = 2\). Следовательно, нули функции: \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 2\).

3. Промежутки убывания и возрастания:

   • Функция возрастает на промежутках, где её график идёт вверх слева направо. По графику видно, что функция возрастает на промежутках \([-3; -1.5]\) и \([0; 3]\).
   • Функция убывает на промежутках, где её график идёт вниз слева направо. По графику видно, что функция убывает на промежутке \([-1.5; 0]\).

Ответ:

• Область значений: \([-2; 3]\)
• Нули функции: \(x = -2, -1, 2\)
• Возрастает: \([-3; -1.5] \cup [0; 3]\)
• Убывает: \([-1.5; 0]\)

Задание 5

Отрезок \(MA\) длиной 8 см перпендикулярен плоскости ромба \(ABCD\), в котором \(AB = 10\) см, \(BD = 16\) см. Найдите расстояние от точки \(M\) до прямой \(BD\).

Решение:

1. Обозначим точку пересечения диагоналей ромба как \(O\). Так как ромб - это параллелограмм, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Значит, \(BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\) см.

2. Рассмотрим треугольник \(ABO\). В нем известны стороны \(AB = 10\) см и \(BO = 8\) см. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то треугольник \(ABO\) прямоугольный. По теореме Пифагора найдем \(AO\):
   \(AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\) см.

3. Так как \(MA\) перпендикулярна плоскости ромба, то \(MA\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, \(MA \perp BD\).

4. Пусть \(MH\) - перпендикуляр из точки \(M\) на прямую \(BD\). Тогда \(MH\) - искомое расстояние от точки \(M\) до прямой \(BD\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MOH\). В нем \(MO = \sqrt{MA^2 + AO^2}\) (по теореме Пифагора, так как \(AO\) перпендикулярна \(MA\)).

5. Найдем \(AO = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\) см.

6. Рассмотрим треугольник \(MOD\). Площадь этого треугольника можно найти двумя способами:

   • \(S_{MOD} = \frac{1}{2} \cdot OD \cdot MO\)
   • \(S_{MBD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot MH\)

7. Приравняем эти площади: \(\frac{1}{2} \cdot BD \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot AO\). Отсюда \(MH = \frac{MO \cdot AO}{BD}\).

8. Подставим известные значения: \(MH = \frac{10 \cdot 6}{16} = \frac{60}{16} = 3.75\) см.

Ответ: Расстояние от точки \(M\) до прямой \(BD\) равно 3.75 см.

Задание 6

Дан набор данных: 12.3; 12.3; 17.7; 13.6; 18. Необходимо найти среднее арифметическое, размах, моду и медиану данных.

Решение:

1. Среднее арифметическое: Сумма всех чисел, делённая на их количество.
   \(\bar{x} = \frac{12.3 + 12.3 + 17.7 + 13.6 + 18}{5} = \frac{73.9}{5} = 14.78\)

2. Размах: Разность между максимальным и минимальным значениями.
   \(R = 18 - 12.3 = 5.7\)

3. Мода: Значение, которое встречается чаще всего. В данном наборе данных число 12.3 встречается дважды, что больше, чем любое другое число.
   \(Mo = 12.3\)

4. Медиана: Значение, которое находится посередине упорядоченного набора данных. Сначала упорядочим набор: 12.3; 12.3; 13.6; 17.7; 18. Медианой является среднее значение, то есть 13.6.
   \(Me = 13.6\)

Ответ:

• Среднее арифметическое: 14.78
• Размах: 5.7
• Мода: 12.3
• Медиана: 13.6