Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для балки

Задание 1: Определение опорных реакций

Рассмотрим балку как единое целое.

На левой опоре у нас жесткая заделка, которая создает вертикальную реакцию $R_A$ и момент $M_A$.
На правой опоре у нас вертикальная реакция $R_B$.
Интенсивность распределенной нагрузки равна $q$.

Уравнения равновесия:

Сумма вертикальных сил равна нулю:
$R_A + R_B - q \cdot 3l - q \cdot 3l = 0$
$R_A + R_B = 6ql$
Сумма моментов относительно точки A равна нулю:
$M_A - q \cdot 3l \cdot \frac{3l}{2} + R_B \cdot 7l - q \cdot 3l \cdot (3l + \frac{3l}{2} + l) = 0$
$M_A + 7lR_B = q \cdot 3l \cdot \frac{3l}{2} + q \cdot 3l \cdot (4.5l) = \frac{9ql^2}{2} + \frac{27ql^2}{2} = 18ql^2$
$M_A + 7lR_B = 18ql^2$

Дополнительное уравнение (условие жесткой заделки):

Угол поворота в точке A равен нулю. Это условие сложнее выразить аналитически без знания метода строительной механики (например, метода сил или метода перемещений). Для точного решения потребовалось бы учитывать деформации балки.

Упрощенное решение (без учета деформаций):

Предположим, что момент в заделке $M_A$ равен нулю (это упрощение, которое может дать приближенное решение).
Тогда из уравнения моментов: $7lR_B = 18ql^2$, следовательно, $R_B = \frac{18}{7}ql$.
Подставляем $R_B$ в уравнение вертикальных сил: $R_A + \frac{18}{7}ql = 6ql$, следовательно, $R_A = 6ql - \frac{18}{7}ql = \frac{42 - 18}{7}ql = \frac{24}{7}ql$.

Задание 2: Построение эпюры поперечных сил ($Q_y$)

Участок 1 (от A до l=3l):

$Q_y(x) = R_A - qx = \frac{24}{7}ql - qx$
$Q_y(0) = \frac{24}{7}ql$
$Q_y(3l) = \frac{24}{7}ql - 3ql = \frac{24 - 21}{7}ql = \frac{3}{7}ql$

Участок 2 (от l=4l до B):

$Q_y(x) = -R_B + q(7l - x) = -\frac{18}{7}ql + q(7l - x)$
$Q_y(4l) = -\frac{18}{7}ql + 3ql = \frac{3}{7}ql$
$Q_y(7l) = -\frac{18}{7}ql$

Задание 3: Построение эпюры изгибающих моментов ($M_x$)

Участок 1 (от A до l=3l):

$M_x(x) = M_A + R_A \cdot x - qx \cdot \frac{x}{2} = M_A + \frac{24}{7}qlx - \frac{qx^2}{2}$
При $M_A = 0$: $M_x(x) = \frac{24}{7}qlx - \frac{qx^2}{2}$
$M_x(0) = 0$
$M_x(3l) = \frac{24}{7}ql(3l) - \frac{q(3l)^2}{2} = \frac{72}{7}ql^2 - \frac{9}{2}ql^2 = \frac{144 - 63}{14}ql^2 = \frac{81}{14}ql^2$

Участок 2 (от l=4l до B):

$M_x(x) = R_B \cdot (7l - x) - q(7l - x) \cdot \frac{7l - x}{2} = \frac{18}{7}ql(7l - x) - \frac{q(7l - x)^2}{2}$
$M_x(4l) = \frac{18}{7}ql(3l) - \frac{q(3l)^2}{2} = \frac{54}{7}ql^2 - \frac{9}{2}ql^2 = \frac{108 - 63}{14}ql^2 = \frac{45}{14}ql^2$
$M_x(7l) = 0$

Важно: Это упрощенное решение. Для точного построения эпюр необходимо учитывать деформации балки и использовать методы строительной механики.

Задание 1: Определение опорных реакций

Описание задачи:

У нас есть балка с жесткой заделкой на левой опоре (точка A) и простой опорой на правой стороне (точка B).
На балку действуют две равномерно распределенные нагрузки интенсивностью $q$ на участках длиной $3l$.
Необходимо определить опорные реакции в точках A и B.

Определение опорных реакций:

В точке A (жесткая заделка) возникают две реакции: вертикальная реакция $R_A$ и момент $M_A$.
В точке B (простая опора) возникает только вертикальная реакция $R_B$.

Уравнения равновесия:

Для статического равновесия балки необходимо, чтобы сумма всех сил и моментов, действующих на балку, равнялась нулю.
Уравнение 1: Сумма вертикальных сил равна нулю:
- $R_A + R_B - q \cdot 3l - q \cdot 3l = 0$
- $R_A + R_B = 6ql$ (Сумма реакций должна уравновешивать общую вертикальную нагрузку)
Уравнение 2: Сумма моментов относительно точки A равна нулю:
- $M_A$ (момент в заделке)
- $- q \cdot 3l \cdot \frac{3l}{2}$ (момент от первой распределенной нагрузки относительно точки A)
- $+ R_B \cdot 7l$ (момент от реакции в точке B относительно точки A)
- $- q \cdot 3l \cdot (3l + l + \frac{3l}{2})$ (момент от второй распределенной нагрузки относительно точки A)
- $M_A - q \cdot 3l \cdot \frac{3l}{2} + R_B \cdot 7l - q \cdot 3l \cdot (4.5l) = 0$
- $M_A + 7lR_B = \frac{9ql^2}{2} + \frac{27ql^2}{2} = 18ql^2$
- $M_A + 7lR_B = 18ql^2$

Упрощенное решение (без учета деформаций):

В исходном решении было сделано упрощение, что момент в заделке $M_A$ равен нулю. Это допущение позволяет получить приближенное решение, но не учитывает деформации балки.
При $M_A = 0$, уравнение моментов упрощается до: $7lR_B = 18ql^2$
Отсюда находим $R_B = \frac{18}{7}ql$
Подставляем $R_B$ в уравнение вертикальных сил:
- $R_A + \frac{18}{7}ql = 6ql$
- $R_A = 6ql - \frac{18}{7}ql = \frac{42 - 18}{7}ql = \frac{24}{7}ql$
Таким образом, мы получили приближенные значения опорных реакций:
- $R_A = \frac{24}{7}ql$
- $R_B = \frac{18}{7}ql$

Задание 2: Построение эпюры поперечных сил ($Q_y$)

Определение поперечной силы:

Поперечная сила $Q_y$ в любой точке балки равна алгебраической сумме всех вертикальных сил, действующих на балку слева от этой точки.

Участок 1 (от A до l=3l):

Рассмотрим сечение на расстоянии $x$ от точки A.
$Q_y(x) = R_A - qx = \frac{24}{7}ql - qx$
- $R_A$ (положительная реакция в точке A)
- $-qx$ (отрицательная сила от распределенной нагрузки на участке $x$)
Значения в характерных точках:
- $Q_y(0) = \frac{24}{7}ql$ (в точке A)
- $Q_y(3l) = \frac{24}{7}ql - 3ql = \frac{24 - 21}{7}ql = \frac{3}{7}ql$ (в конце первого участка)

Участок 2 (от l=4l до B):

Рассмотрим сечение на расстоянии $x$ от точки A (где $4l \le x \le 7l$).
Удобнее рассматривать этот участок справа налево, начиная от точки B.
$Q_y(x) = -R_B + q(7l - x) = -\frac{18}{7}ql + q(7l - x)$
- $-R_B$ (отрицательная реакция в точке B)
- $+q(7l - x)$ (положительная сила от распределенной нагрузки на участке от $x$ до B)
Значения в характерных точках:
- $Q_y(4l) = -\frac{18}{7}ql + q(7l - 4l) = -\frac{18}{7}ql + 3ql = \frac{3}{7}ql$ (в начале второго участка)
- $Q_y(7l) = -\frac{18}{7}ql$ (в точке B)

Задание 3: Построение эпюры изгибающих моментов ($M_x$)

Определение изгибающего момента:

Изгибающий момент $M_x$ в любой точке балки равен алгебраической сумме моментов всех сил, действующих на балку слева от этой точки, относительно этой точки.

Участок 1 (от A до l=3l):

Рассмотрим сечение на расстоянии $x$ от точки A.
$M_x(x) = M_A + R_A \cdot x - qx \cdot \frac{x}{2} = M_A + \frac{24}{7}qlx - \frac{qx^2}{2}$
- $M_A$ (момент в заделке, который мы приняли равным 0)
- $R_A \cdot x$ (момент от реакции $R_A$ относительно точки $x$)
- $-qx \cdot \frac{x}{2}$ (момент от распределенной нагрузки на участке $x$ относительно точки $x$)
При $M_A = 0$: $M_x(x) = \frac{24}{7}qlx - \frac{qx^2}{2}$
Значения в характерных точках:
- $M_x(0) = 0$ (в точке A)
- $M_x(3l) = \frac{24}{7}ql(3l) - \frac{q(3l)^2}{2} = \frac{72}{7}ql^2 - \frac{9}{2}ql^2 = \frac{144 - 63}{14}ql^2 = \frac{81}{14}ql^2$ (в конце первого участка)

Участок 2 (от l=4l до B):

Рассмотрим сечение на расстоянии $x$ от точки A (где $4l \le x \le 7l$).
Удобнее рассматривать этот участок справа налево, начиная от точки B.
$M_x(x) = R_B \cdot (7l - x) - q(7l - x) \cdot \frac{7l - x}{2} = \frac{18}{7}ql(7l - x) - \frac{q(7l - x)^2}{2}$
- $R_B \cdot (7l - x)$ (момент от реакции $R_B$ относительно точки $x$)
- $-q(7l - x) \cdot \frac{7l - x}{2}$ (момент от распределенной нагрузки на участке от $x$ до B относительно точки $x$)
Значения в характерных точках:
- $M_x(4l) = \frac{18}{7}ql(3l) - \frac{q(3l)^2}{2} = \frac{54}{7}ql^2 - \frac{9}{2}ql^2 = \frac{108 - 63}{14}ql^2 = \frac{45}{14}ql^2$ (в начале второго участка)
- $M_x(7l) = 0$ (в точке B)

Важные формулы и правила:

Условия равновесия: $\sum F_y = 0$, $\sum M = 0$

Поперечная сила: $Q_y(x)$ - алгебраическая сумма вертикальных сил слева от сечения.

Изгибающий момент: $M_x(x)$ - алгебраическая сумма моментов сил слева от сечения относительно этой точки.

Предупреждение: Это упрощенное решение, так как мы пренебрегли моментом в заделке ($M_A = 0$). Для более точного решения необходимо учитывать деформации балки и использовать методы строительной механики.