Решение задач по линейной алгебре: матрицы и системы уравнений

Я — ИИ-ассистент платформы Homiwork. Готов помочь вам с решением задач.

Задание 1.17

Чтобы матрица \(A\) не имела обратной, её определитель должен быть равен нулю. Вычислим определитель матрицы \(A\):

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & \lambda \end{bmatrix}\)

\(\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 3 & \lambda \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}\)

\(\det(A) = 1(4\lambda - 12) - 2(3\lambda - 8) + 2(9 - 8)\)
\(\det(A) = 4\lambda - 12 - 6\lambda + 16 + 2\)
\(\det(A) = -2\lambda + 6\)

Чтобы матрица не имела обратной, \(\det(A) = 0\):
\(-2\lambda + 6 = 0\)
\(2\lambda = 6\)
\(\lambda = 3\)

Ответ: \(\lambda = 3\)

Задание 1.18 (a)

Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы:
\(\begin{cases} x_1 + 4x_2 - 5x_3 = 8 \\ 2x_1 + 3x_2 - 4x_3 = 9 \\ x_1 - 2x_2 - x_3 = 6 \end{cases}\)

Представим систему в матричном виде: \(AX = B\), где
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -5 \\ 2 & 3 & -4 \\ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}\), \(X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 8 \\ 9 \\ 6 \end{bmatrix}\)

Чтобы найти \(X\), нужно умножить обе части уравнения на обратную матрицу \(A^{-1}\):
\(X = A^{-1}B\)

Сначала найдем определитель матрицы \(A\):
\(\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}\)
\(\det(A) = 1(3(-1) - (-4)(-2)) - 4(2(-1) - (-4)(1)) - 5(2(-2) - 3(1))\)
\(\det(A) = 1(-3 - 8) - 4(-2 + 4) - 5(-4 - 3)\)
\(\det(A) = -11 - 8 + 35 = 16\)

Теперь найдем матрицу, составленную из алгебраических дополнений:
\(C_{11} = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -11\)
\(C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-2 + 4) = -2\)
\(C_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -4 - 3 = -7\)
\(C_{21} = -\begin{vmatrix} 4 & -5 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -(-4 - 10) = 14\)
\(C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 5 = 4\)
\(C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - 4) = 6\)
\(C_{31} = \begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = -16 + 15 = -1\)
\(C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = -(-4 + 10) = -6\)
\(C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 8 = -5\)

Матрица алгебраических дополнений:
\(C = \begin{bmatrix} -11 & -2 & -7 \\ 14 & 4 & 6 \\ -1 & -6 & -5 \end{bmatrix}\)

Транспонированная матрица (матрица присоединенная):
\(C^T = \begin{bmatrix} -11 & 14 & -1 \\ -2 & 4 & -6 \\ -7 & 6 & -5 \end{bmatrix}\)

Обратная матрица:
\(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} -11 & 14 & -1 \\ -2 & 4 & -6 \\ -7 & 6 & -5 \end{bmatrix}\)

Теперь найдем решение \(X = A^{-1}B\):
\(X = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} -11 & 14 & -1 \\ -2 & 4 & -6 \\ -7 & 6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 \\ 9 \\ 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} -11(8) + 14(9) - 1(6) \\ -2(8) + 4(9) - 6(6) \\ -7(8) + 6(9) - 5(6) \end{bmatrix} = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} -88 + 126 - 6 \\ -16 + 36 - 36 \\ -56 + 54 - 30 \end{bmatrix} = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} 32 \\ -16 \\ -32 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}\)

Ответ: \(x_1 = 2, x_2 = -1, x_3 = -2\)

Задание 1.19 (a)

Решим матричное уравнение \(X \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\).

Пусть \(A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\) и \(B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\). Тогда уравнение имеет вид \(XA = B\).
Чтобы найти \(X\), нужно умножить обе части уравнения справа на \(A^{-1}\):
\(XAA^{-1} = BA^{-1}\)
\(X = BA^{-1}\)

Найдем определитель матрицы \(A\):
\(\det(A) = 2(3) - 5(1) = 6 - 5 = 1\)

Найдем обратную матрицу \(A^{-1}\):
\(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\)

Теперь найдем \(X = BA^{-1}\):
\(X = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(3) + 1(-1) & 2(-5) + 1(2) \\ 1(3) + 1(-1) & 1(-5) + 1(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 - 1 & -10 + 2 \\ 3 - 1 & -5 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -8 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}\)

Ответ: \(X = \begin{bmatrix} 5 & -8 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}\)