Решение определенных интегралов с визуализацией

Здравствуйте! Конечно, давайте разберем эти задания еще раз, более подробно и с наглядной визуализацией.

Проанализировав изображение, я нашел два задания на вычисление определенных интегралов.

Задание 1

Условие: Вычислить определенный интеграл:
$$ \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 3) dx $$

Пошаговое решение с объяснениями

Шаг 1: Найти первообразную (неопределенный интеграл)

Сначала нам нужно найти первообразную для подынтегральной функции \(f(x) = x^2 - 2x + 3\). Для этого мы используем правило интегрирования суммы/разности функций и формулу для степенной функции.

• Правило интегрирования суммы/разности: Интеграл от суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их интегралов.
  $$ \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
• Формула для степенной функции:
  $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$
• Интеграл от константы:
  $$ \int k \, dx = kx + C $$

Применим эти правила к нашей функции:
$$ \int (x^2 - 2x + 3) dx = \int x^2 dx - \int 2x dx + \int 3 dx $$

Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности:
1. Для \(x^2\): здесь \(n=2\). По формуле получаем \(\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}\).
2. Для \(2x\): константу 2 можно вынести за знак интеграла. \(\int 2x dx = 2 \int x^1 dx\). Здесь \(n=1\), поэтому \(2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2\).
3. Для \(3\): это константа. \(\int 3 dx = 3x\).

Собираем все вместе и получаем первообразную \(F(x)\):
$$ F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x $$
Примечание: Константу интегрирования \(C\) при вычислении определенного интеграла можно опустить, так как она сократится при вычитании.

Шаг 2: Применить формулу Ньютона-Лейбница

Теперь, когда у нас есть первообразная, мы можем вычислить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница:
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $$
где \(F(x)\) — первообразная для \(f(x)\), \(a\) — нижний предел интегрирования, \(b\) — верхний предел.

В нашем случае \(a=0\), \(b=1\), \(F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x\).

Подставим пределы интегрирования в первообразную:
1. Вычислим \(F(b) = F(1)\):
$$ F(1) = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 3 \cdot 1 = \frac{1}{3} - 1 + 3 = \frac{1}{3} + 2 $$
Приведем к общему знаменателю: \(2 = \frac{6}{3}\).
$$ F(1) = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3} $$
2. Вычислим \(F(a) = F(0)\):
$$ F(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 + 3 \cdot 0 = 0 - 0 + 0 = 0 $$

Шаг 3: Найти разность \(F(b) - F(a)\)

Ответ:
$$ \frac{7}{3} $$

Визуализация

Геометрически определенный интеграл \(\int_{a}^{b} f(x) dx\) представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y=f(x)\), осью абсцисс (Ox) и вертикальными прямыми \(x=a\) и \(x=b\).

Ниже представлена интерактивная визуализация, где закрашена площадь под графиком параболы \(y = x^2 - 2x + 3\) на отрезке от \(x=0\) до \(x=1\). Эта площадь и равна значению нашего интеграла.

Задание 2

Условие: Вычислить определенный интеграл:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx $$

Пошаговое решение с объяснениями

Шаг 1: Найти первообразную

Нам нужно найти функцию, производная которой равна \(\cos x\). Это одна из основных формул в таблице производных и интегралов.

• Правило: Производная от \(\sin x\) равна \(\cos x\).
  $$ (\sin x)' = \cos x $$
• Следовательно, первообразная для \(\cos x\) — это \(\sin x\).
  $$ \int \cos x dx = \sin x + C $$

Итак, наша первообразная \(F(x) = \sin x\).

Шаг 2: Применить формулу Ньютона-Лейбница

Снова используем формулу \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\).

В этом задании пределы интегрирования: \(a=0\) и \(b=\frac{\pi}{2}\).
Первообразная: \(F(x) = \sin x\).

Подставим значения в формулу:
1. Вычислим \(F(b) = F(\frac{\pi}{2})\):
$$ F(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) $$
Из тригонометрии мы знаем, что синус угла \(\frac{\pi}{2}\) радиан (или 90 градусов) равен 1.
$$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $$
2. Вычислим \(F(a) = F(0)\):
$$ F(0) = \sin(0) $$
Синус 0 радиан равен 0.
$$ \sin(0) = 0 $$

Шаг 3: Найти разность \(F(b) - F(a)\)

Ответ:
$$ 1 $$

Конечно, вот изображение, где цвет кофты изменен на розовый.