Здравствуйте! Конечно, давайте разберем эти задания еще раз, более подробно и с наглядной визуализацией.
Проанализировав изображение, я нашел два задания на вычисление определенных интегралов.
Задание 1
Условие: Вычислить определенный интеграл:
$$ \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 3) dx $$
Пошаговое решение с объяснениями
Шаг 1: Найти первообразную (неопределенный интеграл)
Сначала нам нужно найти первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^2 - 2x + 3$. Для этого мы используем правило интегрирования суммы/разности функций и формулу для степенной функции.
- Правило интегрирования суммы/разности: Интеграл от суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их интегралов.
$$ \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
- Формула для степенной функции:
$$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$
- Интеграл от константы:
$$ \int k \, dx = kx + C $$
Применим эти правила к нашей функции:
$$ \int (x^2 - 2x + 3) dx = \int x^2 dx - \int 2x dx + \int 3 dx $$
Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности:
1. Для $x^2$: здесь $n=2$. По формуле получаем $\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.
2. Для $2x$: константу 2 можно вынести за знак интеграла. $\int 2x dx = 2 \int x^1 dx$. Здесь $n=1$, поэтому $2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.
3. Для $3$: это константа. $\int 3 dx = 3x$.
Собираем все вместе и получаем первообразную $F(x)$:
$$ F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x $$
Примечание: Константу интегрирования $C$ при вычислении определенного интеграла можно опустить, так как она сократится при вычитании.
Шаг 2: Применить формулу Ньютона-Лейбница
Теперь, когда у нас есть первообразная, мы можем вычислить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница:
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $$
где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, $a$ — нижний предел интегрирования, $b$ — верхний предел.
В нашем случае $a=0$, $b=1$, $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$.
Подставим пределы интегрирования в первообразную:
1. Вычислим $F(b) = F(1)$:
$$ F(1) = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 3 \cdot 1 = \frac{1}{3} - 1 + 3 = \frac{1}{3} + 2 $$
Приведем к общему знаменателю: $2 = \frac{6}{3}$.
$$ F(1) = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3} $$
2. Вычислим $F(a) = F(0)$:
$$ F(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 + 3 \cdot 0 = 0 - 0 + 0 = 0 $$
Шаг 3: Найти разность $F(b) - F(a)$
$$ \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 3) dx = F(1) - F(0) = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} $$
Ответ:
$$ \frac{7}{3} $$
Визуализация
Геометрически определенный интеграл $\int_{a}^{b} f(x) dx$ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс (Ox) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.
Ниже представлена интерактивная визуализация, где закрашена площадь под графиком параболы $y = x^2 - 2x + 3$ на отрезке от $x=0$ до $x=1$. Эта площадь и равна значению нашего интеграла.
Задание 2
Условие: Вычислить определенный интеграл:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx $$
Пошаговое решение с объяснениями
Шаг 1: Найти первообразную
Нам нужно найти функцию, производная которой равна $\cos x$. Это одна из основных формул в таблице производных и интегралов.
- Правило: Производная от $\sin x$ равна $\cos x$.
$$ (\sin x)' = \cos x $$
- Следовательно, первообразная для $\cos x$ — это $\sin x$.
$$ \int \cos x dx = \sin x + C $$
Итак, наша первообразная $F(x) = \sin x$.
Шаг 2: Применить формулу Ньютона-Лейбница
Снова используем формулу $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$.
В этом задании пределы интегрирования: $a=0$ и $b=\frac{\pi}{2}$.
Первообразная: $F(x) = \sin x$.
Подставим значения в формулу:
1. Вычислим $F(b) = F(\frac{\pi}{2})$:
$$ F(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) $$
Из тригонометрии мы знаем, что синус угла $\frac{\pi}{2}$ радиан (или 90 градусов) равен 1.
$$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $$
2. Вычислим $F(a) = F(0)$:
$$ F(0) = \sin(0) $$
Синус 0 радиан равен 0.
$$ \sin(0) = 0 $$
Шаг 3: Найти разность $F(b) - F(a)$
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = F(\frac{\pi}{2}) - F(0) = 1 - 0 = 1 $$
Ответ:
$$ 1 $$
